Esta es una buena pregunta. El truco aquí es aplicar la FTC y la Regla de l’Hopital, aunque de manera repetitiva.
[matemáticas] \ lim_ {x \ rightarrow 0} \ frac {\ int_ {0} ^ {x} (xt) \ sin (t ^ 2) \; dt} {x \ sin ^ 3 (x)} \\ = \ lim \ frac {(xx) \ sin (x ^ 2) + \ int_ {0} ^ {x} ((xt) \ sin (t ^ 2 )) ‘\; dt} {(x \ sin ^ 3 (x)) ‘} \\ [/ math]
[matemáticas] = \ lim \ frac {\ int_ {0} ^ {x} \ sin (t ^ 2) \; dt} {\ sin ^ 3 (x) + 3x \ sin ^ 2 (x) \ cos (x)} \\ [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ lim \ frac {\ sin (x ^ 2)} {3 \ sin ^ 2 (x) \ cos (x) + 3 \ sin ^ 2 (x) \ cos (x) + 6x \ sin ( x) \ cos ^ 2 (x) – 3x \ sin ^ 3 (x)} \\ [/ math]
- ¿Cómo podemos simplificar [matemáticas] \ frac {\ frac {x ^ 2-4x + 4} {x} + \ frac {x} {x-2}} {\ frac {x-2} {x} + \ frac {x} {x ^ 2-4x + 4}} [/ matemáticas] a [matemáticas] x-2 [/ matemáticas] sin ninguna manipulación?
- Si [matemáticas] x = \ left (\ sqrt {15} + 4 \ right) ^ {1/3} + \ left (- {\ sqrt {15}} + 4 \ right) ^ {1/3} [/ matemáticas], ¿cuál será el valor de [matemáticas] x ^ 3 + 3x [/ matemáticas]?
- ¿Qué tipo de integral es esta? [matemáticas] \ displaystyle \ int_ {0} ^ {5} e ^ {\ displaystyle \ int_ {0} ^ {x} \ cos \ left (y ^ {2} \ right) \ mathrm {d} y} \ mathrm {d} x [/ matemáticas]
- Cómo resolver 2 ^ 33/57
- Cómo usar la definición de continuidad épsilon-delta para demostrar que [math] f (x) = | x | [/ math] es continua
[matemática] = \ lim \ frac {x ^ 2 + \ matemática {O} (x ^ 6)} {12x ^ 2 + \ matemática {O} (x ^ 3)} \\ [/ matemática]
[matemáticas] = 1/12, [/ matemáticas]
como se desee. Podría, alternativamente, dividir entre [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas] tanto en numerador como en denominador en el último paso y el resultado se deducirá del hecho de que [matemáticas] \ lim_ {x \ rightarrow 0} \ frac {\ sin (x)} {x} = 1. [/ matemáticas]