¿Qué tipo de integral es esta? [matemáticas] \ displaystyle \ int_ {0} ^ {5} e ^ {\ displaystyle \ int_ {0} ^ {x} \ cos \ left (y ^ {2} \ right) \ mathrm {d} y} \ mathrm {d} x [/ matemáticas]

Tenemos una integral de la forma:

[matemáticas] \ int_0 ^ 5 f (x) dx [/ matemáticas]

Con f (x) = [matemáticas] e ^ {\ int_0 ^ x cos (y ^ 2) dy} [/ matemáticas]

Por lo general, si f (x) tuviera una función primitiva fácil, F (x), solo evaluaríamos la integral como F (5) – F (0). En general, no es muy fácil encontrar dicha función F (x) con F ‘(x) = f (x).

En nuestro caso tenemos f (x) = [matemáticas] e ^ {\ int_0 ^ x cos (y ^ 2) dy} [/ matemáticas] = [matemáticas] e ^ {g (x)} [/ matemáticas]

Una función primitiva para [math] e ^ {g (x)} [/ math] también es en general un problema difícil de resolver.

Sin embargo, tenemos suerte en este caso porque la función g (x) es una función especial, de hecho:

C (x) = [matemáticas] \ int cos (\ frac {\ pi t ^ 2} {2}) dx [/ matemáticas]

Entonces, nuestro problema original puede reformularse como

I = [matemáticas] \ int_0 ^ 5 e ^ {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi}} C (\ sqrt {\ frac {\ pi} {2}} x)} dx [/ matemáticas]

Esta integral probablemente no sea computable en forma cerrada, pero usando los primeros términos en la función exponencial con [matemáticas] \ sqrt {\ frac {2} {\ pi}} C (\ sqrt {\ frac {\ pi} {2 }} x) [/ math] como argumento encontramos que nuestra integral parece tener un valor aproximado calculado con [math] \ sqrt {\ frac {\ pi} {2}} [/ math] ~ 1.25

I ~ [matemáticas] \ int_0 ^ {5 * 1.25} (C (x) + \ frac {1.25} {2} C (x) ^ 2 + \ frac {1.25 ^ 2} {6} [/ matemáticas] [matemáticas ] C (x) ^ 3 + \ frac {1.25 ^ 3} {24} C (x) ^ 4 + \ frac {1.25 ^ 4} {120} C (x) ^ 5 + \ frac {1.25 ^ 5} { 720} C (x) ^ 6 + \ frac {1.25 ^ 6} {5040} C (x) ^ 7) dx [/ matemáticas] ~ 4.46

La integral no crece muy rápidamente al agregar más términos, pero aún hay que tener cuidado al usar todos los términos, ya que la integral puede divergir.

Permítanme agregar que este método de cálculo de una integral de este tipo es extremadamente grueso, en el mejor de los casos, puede obtener un límite inferior utilizando solo estos primeros términos de la serie como este.

Si se desea obtener una mejor aproximación, podemos considerar la suma finita:

[matemáticas] \ sum_ {n = 1} ^ N \ int_0 ^ {5 * 1.25} \ frac {1.25 ^ {n-1}} {n!} C (x) ^ n dx [/ matemáticas]

Arriba sumamos los primeros 7 términos, pero la suma de términos en una serie es la forma más lenta de encontrar cuál es el valor, si es que existe. Sin embargo, uno podría calcular algunos términos en la serie anterior, luego usar técnicas de suma para tratar de acelerar el proceso de extracción de una mejor respuesta.