Si [matemáticas] x = \ left (\ sqrt {15} + 4 \ right) ^ {1/3} + \ left (- {\ sqrt {15}} + 4 \ right) ^ {1/3} [/ matemáticas], ¿cuál será el valor de [matemáticas] x ^ 3 + 3x [/ matemáticas]?

Answer 1

En este tipo de preguntas, parece un gran problema porque tenemos una expresión complicada para x y tenemos que encontrar el valor de otra expresión complicada en x. Ahora, uno debe entender cómo proceder, y no hay pasos a seguir exactamente para esa intuición simple. Ahora comencemos.

Elevemos el poder de x a 3 y descubramos lo que obtenemos. ¿Por qué 3? 2 razones:

1. Si lo hago, entonces RHS se expandirá de acuerdo con la identidad de (a + b) ^ 3, que será a ^ 3 + b ^ 3 + 3ab (a + b). Ahora a y b están en potencias de (1/3). Por lo tanto, esta potencia se cancelará cuando se apliquen a ^ 3 y b ^ 3.
2. Necesitamos x ^ 3 en nuestra expresión.

Tenga en cuenta que este enfoque es solo prueba y error. Si obtiene su respuesta lo suficientemente bien, de lo contrario, piense en un enfoque alternativo.

Ahora, cuando aumentamos el poder de x a 3, y después de expandir RHS obtenemos:

x ^ 3 = {4 + sqrt (15)} + {4 – sqrt (15)} + 3 {4 + sqrt (15)} ^ (1/3) * {4 – sqrt (15)} ^ (1 / 3) * [{4 + sqrt (15)} ^ (1/3) + {4 – sqrt (15)} ^ (1/3)]

x ^ 3 = 8 + 3 x [{4 + sqrt (15)} {4 – sqrt (15)}] ^ (1/3)]

(Porque (a + b) es x aquí como se indica en la condición)

x ^ 3 = 8 + 3x [16-15] ^ (1/3)

x ^ 3 = 8 + 3x

x ^ 3 – 3x = 8

Pero necesitábamos {x ^ 3 + 3x}. Hagamos esto:

Agregue 6x en ambos lados.

x ^ 3 – 3x + 6x = 8 + 6x

x ^ 3 + 3x = 8 + 6x

Ponga el valor de x como se da en las preguntas y obtendrá su respuesta.

Espero eso ayude

Answer 2

De hecho, sugeriría una corrección en la pregunta, pero eso viene al final.

Deje que la [matemática] x [/ matemática] dada se escriba como [matemática] a + b, [/ matemática] es decir [matemática] x = a + b [/ matemática]

Entonces, [matemáticas] x ^ 3 = {(a + b)} ^ 3 = a ^ 3 + b ^ 3 + 3ab (a + b) [/ matemáticas]

Tenga en cuenta lo siguiente:

[matemática] a ^ 3 [/ matemática] y [matemática] b ^ 3 [/ matemática] son ​​conjugados cuadráticos y entonces [matemática] a ^ 3 + b ^ 3 = 8; a [/ math] y [math] b [/ math] también son conjugados cuadráticos y [math] ab = {(16-15)} ^ {1/3} = 1 [/ math] y finalmente [math] x = a + b [/ matemáticas]

Al poner los datos, obtenemos [matemáticas] x ^ 3 = 8 + 3x [/ matemáticas]

Ahora es la sugerencia , si la pregunta es encontrar el valor de [matemáticas] x ^ 3 – 3x [/ matemáticas], entonces su respuesta es 8. (¡A un profesor de matemáticas le encantaría eso!)

Si todavía está seguro acerca de la pregunta dada, entonces su respuesta es

[matemática] x ^ 3 + 3x = 8 + 6x [/ matemática] (complete x)

Espero que esto esté claro!