¿Pueden los vectores (1, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 1) y (1, 0, 0, 1) ser una base en el espacio vectorial definido por tuplas (x1, x2, x3, x4) tomando valores reales?

Answer 1

No.

Podemos demostrarlo de muchas maneras.

Un método es mostrar que el determinante de la matriz cuyas filas son estos cuatro vectores es cero. Podemos calcular y mostrar fácilmente que el determinante es cero. Por lo tanto, los cuatro vectores no son linealmente independientes y, por lo tanto, no pueden formar una base.

El segundo método es mostrar que uno de los vectores puede expresarse como una combinación lineal de los otros vectores. Aquí podemos ver que el vector [matemáticas] \; \; (1,0,0,1) \; \; [/ matemáticas] es

[matemáticas] \; \; (1,1,0,0) \; – \; (0,1,1,0) \; + \; (0,0,1,1) \; \; [/matemáticas]

Por lo tanto, los cuatro vectores no son linealmente independientes y, por lo tanto, no pueden formar una base.

El tercer método es mostrar que existe una combinación lineal no trivial de los vectores dados que es igual al vector cero.

Podemos verificar fácilmente que [matemáticas] \; \; 1. (1,1,0,0) + \; – 1. (0,1,1,0) + [/ matemáticas] [matemáticas] 1. (0 , 0,1,1) + \; – 1. (1,0,0,1) \; = \; \ overline {0} \; [/ math]

Por lo tanto, los cuatro vectores no son linealmente independientes y, por lo tanto, no pueden formar una base.

Tenga en cuenta que todos los vectores dados son los vectores de [math] \; \; \ mathbb {R} ^ {4} \; [/ math] que es de dimensión cuatro. Es un resultado estándar que un subconjunto [math] \; \; E \; \; [/ math] de algunos vectores en [math] \; \; \ mathbb {R} ^ {4} \; [/ math] es una base de [math] \; \; \ mathbb {R} ^ {4} \; [/ math] si y solo si [math] \; \; E \; \; [/ math] es un conjunto linealmente independiente que tiene exactamente cuatro vectores.