¿Por qué [math] {(- 3)} ^ {1.2} [/ math] me da una solución compleja?

Su pregunta revela que está dejando que la intuición se adelante a sus fundamentos matemáticos. Eso no es realmente malo, ya que te da una gran oportunidad de aprender una lección importante.

En matemáticas, debe definir exactamente lo que quiere decir con una colección de símbolos y luego confiar cuidadosamente en esa definición al interpretar esos símbolos. Los detalles de su pregunta indican que en realidad no conoce la definición (más común) del símbolo ^ en el contexto para el que lo está utilizando. Eso no es sorprendente, ya que la mayoría de las personas no ven esa definición hasta que comienzan a aprender sobre funciones de variables complejas.

Recientemente escribí una respuesta a casi la misma pregunta, así que no la repetiré aquí. Pero la idea principal es que la definición de exponenciación más fácilmente generalizable definida para pares de números complejos (o reales) da:

[matemáticas] x ^ y = \ exp (y \ log x) [/ matemáticas]

(complementado con [matemáticas] 0 ^ y = 0 \ para todos y \ ne 0 [/ matemáticas] y, a veces, [matemáticas] 0 ^ 0 = 1 [/ matemáticas]). En esta definición, utilizamos [math] \ exp [/ math] y [math] \ log [/ math] como las funciones de registro exponenciales y naturales complejas (generalmente de valores múltiples).

Al definir los símbolos de esta manera, encontrará que [math] (- 3) ^ {1.2} [/ math] en realidad da cinco soluciones complejas distintas, de las cuales una es real. (Esa es [matemáticas] \ sqrt [5] {729} \ aprox [/ matemáticas] [matemáticas] 3.73719281884655 [/ matemáticas].) Todas las demás están igualmente espaciadas alrededor del círculo en el plano complejo cuyo centro es 0 y cuyo el radio es igual a la única solución real que se acaba de dar.

Entonces, usando la definición más común de los símbolos, no obtienes una solución compleja: obtienes CINCO soluciones complejas (una de las cuales tiene una parte imaginaria de cero).

Entonces, ¿por qué su calculadora u otra fuente de tecnología solo le da una de ellas y ni siquiera la que es real? La razón es que, para hacer que [math] x ^ y [/ math] sea una función (que requiere una única salida para cada entrada), existe una definición alternativa relacionada para los símbolos. Esta definición a veces se llama el valor principal de [math] x ^ y [/ math], y su tecnología le está dando solo ese uno de los cinco resultados posibles.

Para obtenerlo, escribimos [math] x \ ne 0 [/ math] como el número complejo único [math] r \ exp (i \ theta) [/ math] tal que [math] r> 0 [/ math] y [matemáticas] \ theta \ in (- \ pi, \ pi] [/ matemáticas] y proceda de la siguiente manera:

[matemáticas] x ^ y = \ exp (y \ log x) = \ exp \ left (y \ log \ left (r \ exp \ left (i \ theta \ right) \ right) \ right) = \ exp \ left (y \ log \ left (r \ right) + iy \ theta \ right) = e ^ {y \ log r} \ left (\ cos \ left (y \ theta \ right) + i \ sin \ left (y \ theta \ right) \ right) = r ^ y \ left (\ cos \ left (y \ theta \ right) + i \ sin \ left (y \ theta \ right) \ right) [/ math]

Entonces, en su pregunta, [matemáticas] r = 3, \ y = 1.2 \ \ implica \ r ^ y = \ sqrt [5] {729} = 3 \ sqrt [5] 3 [/ matemáticas] y [matemáticas] \ theta = \ pi [/ matemáticas]. Entonces obtienes

[matemáticas] (- 3) ^ {1.2} = e ^ {1.2 \ log (3 \ sqrt [5] 3)} \ left (\ cos \ left (1.2 \ pi \ right) + i \ sin \ left (1.2 \ pi \ right) \ right) \ aprox -3.0234525017-i \ cdot 2.19666682389 [/ math]

Y, de hecho, vemos que la única solución real no es el valor principal.

Para darle una idea, [math] 1 ^ {\ frac 12} [/ math] no es lo mismo que [math] \ sqrt 1 [/ math]. El primero tiene dos respuestas, a saber, 1 y -1. Este último tiene una sola respuesta, que es 1.

La función de raíz cuadrada (o la enésima función de raíz) solo le da el valor principal, lo que significa que le da el valor que puede gritar de inmediato.

Entonces, de manera similar, una quinta raíz o una décima raíz te da cinco y diez respuestas respectivamente. Y solo una raíz es real.

[matemáticas] (- 3) ^ {1.2} = (3e ^ {\ pi i}) ^ {1.2} [/ matemáticas]

Eso es igual

[matemáticas] (e ^ {\ pi i + \ ln 3}) ^ {1.2} [/ matemáticas]

[matemáticas] = e ^ {1.2 \ pi i + 1.2 \ ln 3} [/ matemáticas]

Usamos la fórmula de Euler y [math] e ^ {x + iy} = e ^ xe ^ iy [/ math]

Entonces es igual

[matemáticas] e ^ {1.2 \ ln 3} e ^ {1.2 \ pi i} [/ matemáticas]

[matemáticas] = 3 ^ {1.2} \ veces (\ cos (1.2 \ pi) + i \ sin (1.2 \ pi)) [/ matemáticas]

Asi que aqui esta.

En cuanto a cómo encontrar las otras raíces si es de enésima raíz, mira aquí.

Todos estos son similares. La identidad de Euler le da el signo negativo, [matemática] e ^ {i \ pi} = – 1. [/ matemática] Para el entero [matemática] k [/ matemática], la identidad de Euler a la potencia [matemática] 2k [/ matemática] le da múltiples valores: [matemáticas] e ^ {2 \ pi ki} = 1. [/ matemáticas] Entonces,

[matemáticas] (- 3) ^ {1.2} = (-3) ^ {\ frac 6 5} = (3 e ^ {i \ pi} e ^ {2 \ pi ki}) ^ {\ frac 6 5} = 3 ^ {\ frac 6 5} (e ^ {i (\ pi + 2 \ pi k)}) ^ {\ frac 6 5} [/ math] [math] = \ sqrt [5] {3 ^ 6} e ^ {i (6 \ pi + 12 \ pi k) / 5} [/ math] [math] = \ sqrt [5] {3 ^ 6} e ^ {i (6 \ pi (2k + 1) / 5) }[/matemáticas]

[matemáticas] (- 3) ^ {1.2} = \ sqrt [5] {3 ^ 6} (\ cos \ dfrac {6 \ pi (2k + 1)} {5} + i \ sin \ dfrac {6 \ pi (2k + 1)} {5}) [/ matemáticas]

Aquí hay cinco soluciones, para cinco cinco [math] k. [/ Math] consecutivas Después de eso, las soluciones se repiten.

Cuando [math] k = 2 [/ math] los cinco se cancelan y obtenemos una solución real, [math] \ sqrt [5] {729}. [/ Math] Los otros cuatro [math] k [/ math] s dan us soluciones complejas, con ángulos igualmente espaciados [matemática] 360 ^ \ circ / 5 = 72 ^ \ circ [/ matemática] aparte.

No me molestaré en resolver los detalles de las coordenadas rectangulares, ya que el OP no preguntó.

Deje, ω = (-3) ^ (6/5) & z = -4

Ahora, z = -3 = 3 e ^ (iπ) = 3 e ^ i (2πk + π) , k ϵ Z

Entonces, ω = 3 ^ (6/5) * e ^ i (12 πk / 5 + 6π / 5)

[matemáticas] -3 = -3 + 0i [/ matemáticas]

[matemática] arg = \ arctan \ left (\ dfrac {0} {- 3} \ right) = 0 [/ math]

Por lo tanto, [math] -3 = 3e ^ {2i \ pi K} [/ math] donde [math] k \ in \ Z [/ math]

[matemáticas] \ implica (-3) ^ {1.2} = (- 3) ^ {\ frac {6} {5}} = 3 ^ {\ frac {6} {5}} e ^ {\ frac {12i \ pi K} {5}} [/ matemáticas]

Poner [matemáticas] k = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] = 3 ^ {\ frac {6} {5}} \ left (\ cos \ dfrac {12 \ pi} {5} + i \ sin \ dfrac {12 \ pi} {5} \ right) [/ matemáticas]

Usando la fórmula de Euler

[matemáticas] e ^ {ix} = \ cos x + i \ sin x [/ matemáticas]

Según los detalles de su pregunta, su problema con la solución compleja dada por [math] \ left (-3 \ right) ^ {1.2} [/ math] es que al reorganizar los términos a una expresión equivalente, encontró una forma que da solución real Entonces parece que la solución compleja, que ciertamente se siente menos satisfactoria, es innecesaria.

El problema es que la ley de exponentes que usaste no funciona con exponentes no enteros. Por lo tanto, las “expresiones equivalentes” no son realmente, aunque están estrechamente relacionadas.

Nota al margen: una vez que abre la puerta a números complejos, las raíces ya no funcionan como solían hacerlo. En particular, cuando tomas la enésima raíz, obtienes n resultados.