Su pregunta revela que está dejando que la intuición se adelante a sus fundamentos matemáticos. Eso no es realmente malo, ya que te da una gran oportunidad de aprender una lección importante.
En matemáticas, debe definir exactamente lo que quiere decir con una colección de símbolos y luego confiar cuidadosamente en esa definición al interpretar esos símbolos. Los detalles de su pregunta indican que en realidad no conoce la definición (más común) del símbolo ^ en el contexto para el que lo está utilizando. Eso no es sorprendente, ya que la mayoría de las personas no ven esa definición hasta que comienzan a aprender sobre funciones de variables complejas.
Recientemente escribí una respuesta a casi la misma pregunta, así que no la repetiré aquí. Pero la idea principal es que la definición de exponenciación más fácilmente generalizable definida para pares de números complejos (o reales) da:
[matemáticas] x ^ y = \ exp (y \ log x) [/ matemáticas]
- Cómo resolver [math] \ sin (2 \ theta) = – \ frac {1} {2} [/ math]
- ¿Cuál es el período de la función y = | sinx |?
- ¿Hay dos funciones f y g, tales que (f * g) ‘= f’ * g ‘? Del mismo modo, ¿hay dos funciones f y g tales que (f / g) ‘= f’ / g ‘?
- ¿Cuál es el valor de (4b – 6c) 2?
- En matemáticas de nivel universitario, ¿es más convencional denotar el logaritmo natural con ‘ln’ o con ‘log’?
(complementado con [matemáticas] 0 ^ y = 0 \ para todos y \ ne 0 [/ matemáticas] y, a veces, [matemáticas] 0 ^ 0 = 1 [/ matemáticas]). En esta definición, utilizamos [math] \ exp [/ math] y [math] \ log [/ math] como las funciones de registro exponenciales y naturales complejas (generalmente de valores múltiples).
Al definir los símbolos de esta manera, encontrará que [math] (- 3) ^ {1.2} [/ math] en realidad da cinco soluciones complejas distintas, de las cuales una es real. (Esa es [matemáticas] \ sqrt [5] {729} \ aprox [/ matemáticas] [matemáticas] 3.73719281884655 [/ matemáticas].) Todas las demás están igualmente espaciadas alrededor del círculo en el plano complejo cuyo centro es 0 y cuyo el radio es igual a la única solución real que se acaba de dar.
Entonces, usando la definición más común de los símbolos, no obtienes una solución compleja: obtienes CINCO soluciones complejas (una de las cuales tiene una parte imaginaria de cero).
Entonces, ¿por qué su calculadora u otra fuente de tecnología solo le da una de ellas y ni siquiera la que es real? La razón es que, para hacer que [math] x ^ y [/ math] sea una función (que requiere una única salida para cada entrada), existe una definición alternativa relacionada para los símbolos. Esta definición a veces se llama el valor principal de [math] x ^ y [/ math], y su tecnología le está dando solo ese uno de los cinco resultados posibles.
Para obtenerlo, escribimos [math] x \ ne 0 [/ math] como el número complejo único [math] r \ exp (i \ theta) [/ math] tal que [math] r> 0 [/ math] y [matemáticas] \ theta \ in (- \ pi, \ pi] [/ matemáticas] y proceda de la siguiente manera:
[matemáticas] x ^ y = \ exp (y \ log x) = \ exp \ left (y \ log \ left (r \ exp \ left (i \ theta \ right) \ right) \ right) = \ exp \ left (y \ log \ left (r \ right) + iy \ theta \ right) = e ^ {y \ log r} \ left (\ cos \ left (y \ theta \ right) + i \ sin \ left (y \ theta \ right) \ right) = r ^ y \ left (\ cos \ left (y \ theta \ right) + i \ sin \ left (y \ theta \ right) \ right) [/ math]
Entonces, en su pregunta, [matemáticas] r = 3, \ y = 1.2 \ \ implica \ r ^ y = \ sqrt [5] {729} = 3 \ sqrt [5] 3 [/ matemáticas] y [matemáticas] \ theta = \ pi [/ matemáticas]. Entonces obtienes
[matemáticas] (- 3) ^ {1.2} = e ^ {1.2 \ log (3 \ sqrt [5] 3)} \ left (\ cos \ left (1.2 \ pi \ right) + i \ sin \ left (1.2 \ pi \ right) \ right) \ aprox -3.0234525017-i \ cdot 2.19666682389 [/ math]
Y, de hecho, vemos que la única solución real no es el valor principal.