¿Hay dos funciones f y g, tales que (f * g) ‘= f’ * g ‘? Del mismo modo, ¿hay dos funciones f y g tales que (f / g) ‘= f’ / g ‘?

Answer 1

Cuando tomamos [matemáticas] \; \; f \; \; [/ math] y [math] \; \; g \; \; [/ math] como funciones constantes, obtenemos [math] \; \; \ left (f \; \ cdot \; g \ right) ^ { ‘} \; = \; \ left (f \ right) ^ {‘} \; \ cdot \; \ left (g \ right) ^ {‘} \; \; [/ math]

Si elegimos dos números reales [matemáticas] \; a \; \; [/ math] y [math] \; b \; \; [/ math] tal que [math] \; \; ab \; = \; a + b \; \; \; \; [/ math] es decir [math] \; \; \ frac {1} {a} + \ frac {1} {b} \; = \; 1 \; \; [/ math]

luego tomando \ [matemáticas]; \; f (x) \; = \; e ^ {axe} \; \; [/ math] y [math] \; \; g (x) \; = \; e ^ {bx} \; \; [/ math] obtenemos [math] \; \; \ left (f \; \ cdot \; g \ right) ^ {‘} \; = \; \ left (f \ right) ^ {‘} \; \ cdot \; \ left (g \ right) ^ {‘} \; \; [/ math]

Del mismo modo, si elige dos números reales [matemáticas] \; \; a \; \; [/ math] y [math] \; \; b \; \; [/ math] tal que [math] \; \; a \; = \; \ frac {b ^ {2}} {b-1} \; \ ;, [/ math]

luego tomando [matemáticas] \; \; f (x) \; = \; e ^ {axe} \; \; [/ math] y [math] \; \; g (x) \; = \; e ^ {bx} \; \; [/ math] obtenemos [math] \; \; \ left (\ frac {f} {g} \ right) ^ {‘} \; = \; \ frac {f ^ {‘}} {g ^ {‘ }} \;\;[/matemáticas]

Answer 2

Para las dos preguntas, la respuesta es sí. De hecho, para casi cualquier función g, esto le mostrará cómo encontrar la f correspondiente para que (f * g) ‘= f’ * g ‘o para que (f / g)’ = f ‘/ g’. Básicamente, tiene una ecuación diferencial separable en f (o g por simetría), que puede resolver para f en términos de alguna función en términos de g.

Aplique la regla del producto para obtener f’g ‘= f’g + fg’, o f ‘(g’ – g) = f g ‘, entonces f’ / f = g ‘/ (g’-g). Al fijar la función g (x), sea y = f (x), h (x) = g ‘/ (g’-g), tenemos y’ / y = h (x). Si G (x) es una antiderivada de h (x), entonces cuando resolvemos, obtenemos ln y = G (x) + C, entonces y = C ‘e ^ (G (x)). Con g (x) = x, obtienes f (x) = C e ^ (1 / (1-x)).

Puede aplicar este mismo método a la segunda pregunta. (f’g – fg ‘) / g ^ 2 = f’ / g ‘, entonces f’gg’ – fg ‘^ 2 = f’g ^ 2, entonces f’ (gg ‘- g ^ 2) = fg’ ^ 2, entonces f ‘/ f = g’ ^ 2 / (gg ‘- g ^ 2). Configure g para que sea la función que desee, sustitúyalo en el lado derecho, deje que sea h (x), luego proceda exactamente como antes.

En cada caso, debemos hacer que h (x) sea una función integrable para resolver f, y hay muchas funciones que lo satisfacen.

Ok, esto es probablemente exagerado, pero qué puedo decir, soy matemático. Para cualquier función F (x, y) que sea lineal en x (como x * y) y G (x, y, z, w) que sea lineal en x, y (como x * z), puede resolver (F (f (x), g (x))) ‘= G (f’ (x), f (x), g ‘(x), g (x)) por el mismo método exacto. Si configura F (x, y) = xy y G (x, y, z, w) = xz, entonces obtiene su primera pregunta.

Answer 3

Mire [matemáticas] f (x) = a, g (x) = b [/ matemáticas]. Entonces tiene [math] (fg) ‘= (ab)’ = 0 = (0) (0) = a’b ‘= f’g’ [/ math].

Puede haber soluciones menos triviales. Lo que necesitaría encontrar es una situación donde [math] f’g ‘= f’g + fg’ [/ math].

No puedo pensar en ninguna solución para [math] (\ frac {f} {g}) ‘= \ frac {f’} {g ‘} [/ math].

Answer 4

Si. En realidad, para cualquier función g excepto [matemáticas] g = Ce ^ {x} [/ matemáticas] hay una función no trivial f que satisface la ecuación.

La ecuación se puede escribir como f’g + fg ‘= f’g’, o de manera equivalente para [math] g \ neq Ce ^ {x} [/ math], [math] f ‘= f \ frac {g’} {g’-g}. [/ math] Esta es una ecuación diferencial lineal simple de primer orden con la solución

[matemáticas] f = exp (\ int \ frac {g ‘} {g’-g} dx) [/ matemáticas]