¿Podemos evaluar [math] \ int \ frac {1} {1 + x ^ {11}} \ mathrm {d} x [/ math] sin usar fracciones parciales?

Answer 1

John Falvey ha dado una solución en serie. Sin embargo, los resultados de fracciones parciales también son posibles.

el denominador se puede dividir en 11 (¿solo?) fracciones.

[matemática] \ Pi_ {r = 0} ^ {10} (x-x_r) [/ matemática] donde [matemática] x_r [/ matemática] es la raíz de [matemática] x ^ {11} + 1 = 0 [/ matemática ]

[matemáticas] x_r = \ cos \ frac {(2r + 1) \ pi} {11} + i \ sin \ frac {(2r + 1) \ pi} {11} [/ matemáticas]

Hay una raíz real y 5 pares de raíces complejas conjugadas. podemos establecer las fracciones parciales como

[matemáticas] \ frac {1} {x ^ {11} +1} = \ sum_ {r = 0} ^ {10} \ frac {A_r} {x-x_r} [/ matemáticas]

[matemáticas] I = \ int \ frac {1} {x ^ {11} +1} = \ sum_ {r = 0} ^ {10} T_r = \ sum_ {r = 0} ^ {10} A_r \ ln ( x-x_r) + C [/ matemáticas]

El valor de [math] A_r [/ math] se puede encontrar multiplicando por [math] x-x_r [/ math] y estableciendo [math] x = x_r [/ math]

[matemáticas] A_r = \ frac {x-x_r} {x ^ {11} +1} | _ {x = x_r} [/ matemáticas]

[math] = \ lim_ {x \ to x_r} \ frac {x-x_r} {x ^ {11} +1} [/ math] como es [math] \ frac {0} {0} [/ math] formar y aplicar la regla de L’Hospital

= [matemáticas] \ frac {1} {11x_r ^ {10}} = – \ frac {x_r} {11} [/ matemáticas]

[matemáticas] A_5 = – \ frac {-1} {11} = \ frac {1} {11} y T_5 = \ frac {\ ln (x + 1)} {11} [/ matemáticas]

[math] x_r [/ math] y [math] x_ {10-r} [/ math] son ​​conjugados y puedes denotarlos como (a + ib) y (a-ib) respectivamente

[matemáticas] 11 (T_r + T_ {10-r}) = (- a-ib) \ ln (xa-ib) + (- a + ib) \ ln (x-a + ib) [/ matemáticas]

= [matemáticas] (- a-ib) \ {\ ln \ sqrt {(xa) ^ 2 + b ^ 2} -i \ tan ^ {- 1} \ frac {b} {xa} \} + (- a + ib) \ {\ ln \ sqrt {(xa) ^ 2 + b ^ 2} + i \ tan ^ {- 1} \ frac {b} {x + a} \} [/ math]

= – [matemáticas] a \ {\ ln ((xa) ^ 2 + b ^ 2) \} -b \ tan ^ {- 1} \ frac {b} {xa} -b \ tan ^ {- 1} \ frac {b} {x + a} [/ math]

= – [matemáticas] a \ {\ ln (x ^ 2-2ax + 1) \} -b \ tan ^ {- 1} \ frac {2bx} {x ^ 2-a ^ 2-b ^ 2} [/ matemáticas]

= – [matemáticas] a \ {\ ln (x ^ 2-2ax + 1) \} -b \ tan ^ {- 1} \ frac {2bx} {x ^ 2-1} [/ matemáticas]

Por lo tanto, la solución completa se puede dar como

[matemáticas] \ boxed {I = \ frac {1} {11} \ left \ {\ ln (x + 1) – \ sum_ {r = 0} ^ {4} \ left (\ cos \ frac {(2r + 1) \ pi} {11} \ ln (x ^ 2-2 \ cos \ frac {(2r + 1) \ pi} {11} x + 1) + \ sin \ frac {(2r + 1) \ pi} {11} \ tan ^ {- 1} \ frac {2 \ sin \ frac {(2r + 1) \ pi} {11} x} {x ^ 2-1} \ right) \ right \}} [/ math ]

Answer 2

Un teorema debido a Joseph Liouville (cuando se aplica a las funciones racionales) implica que todas las funciones racionales, como su [math] \ dfrac {1} {1 + x ^ {11}} [/ math], tienen un compuesto anti-derivado de funciones racionales y logaritmos, como puede ver si imaginara hacer la descomposición de fracciones parciales sobre [math] {\ mathbb C} [/ math]. El truco es encontrar las constantes que multiplican los logaritmos.

Básicamente se adivina la forma de la respuesta y se diferencia de nuevo para verificar. En su caso, la respuesta será una combinación lineal (sobre [matemática] {\ mathbb C} [/ matemática]) de funciones de la forma [matemática] \ log (x- \ theta_i) [/ matemática] donde [matemática] \ theta_i [/ ​​math] es la undécima raíz de [math] -1 [/ math]. Pero es posible que pueda combinar algunos de estos registros para reducir la cantidad de números no racionales (como [math] \ cos (2 \ pi / 11) [/ math] en su ejemplo) que aparecen en la respuesta final. Hay algoritmos que apuntan a hacer esto sistemáticamente. Pero hace tanto tiempo que enseñé esto que olvidé quién los inventó, ¡ni siquiera recuerdo lo suficiente como para hacer una búsqueda en Google en ellos!

Puede sentir que este método es trampa, ya que depende de fracciones parciales pero no lo usa formalmente: estoy de acuerdo con eso, pero así es como lo hacen los sistemas de álgebra computacional.

Adicional Encontré mis viejas notas de clase: los algoritmos en los que estaba pensando se deben a Hermite, Horowitz y Rothstein. Es el último que necesita, ya que el cociente es cuadrado libre y encuentra que la respuesta es una suma de registros de [math] x- \ theta_i [/ ​​math], con [math] \ theta_i [/ ​​math] como arriba, donde los que tienen raíces conjugadas se pueden combinar en tangentes inversas, etc.

Answer 3

Deje y = x ^ 11

1 / (1 + y) = (1 / y) – (1 / y ^ 2) + (1 / y ^ 3),,,, (1 / y ^ n)

Integre cada término y sustituto posterior y = x ^ 11

¿Quiso decir fracciones parciales o sumas parciales?