Esa es una pregunta difícil. En primer lugar, no es para todos los enteros n, la fórmula funciona solo para enteros positivos y 0 ya que la integral de la izquierda es una función par de n, mientras que el lado derecho es una función impar de n. Asumimos que n es un número entero positivo de ahora en adelante. El problema original es difícil, intentemos resolver uno más simple para ver si hay algunas pistas. Vamos a calcular la integral a continuación primero.
[matemáticas] I_n = \ int_ {0} ^ {\ pi / 2} \ frac {\ sin ^ 2nx} {\ sin ^ 2x} dx [/ matemáticas]
Algunas pautas generales para tratar la integral con funciones trigonométricas.
- Use identidades trigonométricas de ambas direcciones. Las únicas identidades que uno necesita recordar son [matemáticas] \ sin (a \ pm b) = \ sin a \ cos b \ pm \ cos a \ sin b [/ matemáticas] y [matemáticas] \ cos (a \ pm b) = \ cos a \ cos b \ mp \ sin a \ sin b. [/ math] Por ejemplo, cuando a = b, toma la fórmula sin, obtenemos [math] \ sin 2a = 2 \ sin a \ cos a [/ matemáticas] ; para la fórmula cos, obtenemos [matemática] 1 = \ sin ^ 2 a + \ cos ^ 2 a [/ matemática] así como [matemática] \ cos 2a = \ cos ^ 2 a – \ sin ^ 2a = 1-2 \ sin ^ 2a = 2 \ cos ^ 2a -1 [/ matemáticas]
- Use integral por partes tanto como sea posible
- Reduzca el poder de las funciones trigonométricas, generalmente es mejor tratar con sin2x que (sinx) ^ 2
Con esto en mente, trabajemos primero [matemáticas] I_n [/ matemáticas].
- Cómo resolver la siguiente ecuación: [matemáticas] \ sin (3x + \ frac {7 \ pi} {4}) \ geq – \ frac {\ sqrt {2}} {2} [/ matemáticas]
- ¿Se pueden expresar todos los números naturales como la suma o la diferencia de dos cuadrados de enteros?
- Cómo demostrar que (a + b) + (c + d) = a + (b + (c + d))
- Deje que los diez mil millones de dígitos de 2 ^ n se representen como x. ¿Cuáles son todos los enteros 34 <= n <= 50 para los cuales x mod 7 = 1?
- ¿Por qué es [math] \ sqrt {-1} * \ sqrt {-1} = -1 [/ math] y no [math] 1 [/ math]?
[matemáticas] I_n = \ int_ {0} ^ {\ pi / 2} dx \ frac {\ sin ^ 2nx \ cdot (\ sin ^ 2x + \ cos ^ 2x)} {\ sin ^ 2x} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ int_ {0} ^ {\ pi / 2} dx \ sin ^ 2nx – \ int_ {0} ^ {\ pi / 2} \ sin ^ 2nx \ cos xd \ frac {1} {\ sin x } [/matemáticas]
[matemáticas] = \ int_ {0} ^ {\ pi / 2} dx \ sin ^ 2nx + \ int_ {0} ^ {\ pi / 2} dx \ frac {2n \ sin nx \ cos nx \ cos x – \ sin ^ 2nx \ sin x} {\ sin x} [/ math]
[matemáticas] = n \ int_ {0} ^ {\ pi / 2} dx \ frac {\ sin 2nx \ cos x} {\ sin x} [/ matemáticas]
[matemáticas] = n \ int_ {0} ^ {\ pi / 2} dx \ frac {\ sin (2n + 1) x + \ sin (2n-1) x} {2 \ sin x} [/ matemáticas]
Darse cuenta de
[matemáticas] \ int_ {0} ^ {\ pi / 2} dx \ frac {\ sin (2n + 1) x – \ sin (2n-1) x} {2 \ sin x} = \ int_ {0} ^ {\ pi / 2} dx \ frac {\ cos 2nx \ cdot \ sin x} {\ sin x} = \ int_ {0} ^ {\ pi / 2} \ cos 2nx dx = 0. (n \ geq 1) [/matemáticas]
entonces
[matemáticas] \ int_ {0} ^ {\ pi / 2} dx \ frac {\ sin (2n + 1) x} {\ sin x} = \ int_ {0} ^ {\ pi / 2} dx \ frac { \ sin (2n-1) x} {\ sin x} = \ frac {\ pi} {2}. (\ text {when} n = 1). [/ math]
entonces,
[matemáticas] I_n = \ int_ {0} ^ {\ pi / 2} dx \ frac {\ sin ^ 2nx} {\ sin ^ 2x} = \ frac {\ pi} {2} n [/ matemáticas]
Por lo tanto, hemos resuelto la versión más simple del problema original. ¿Qué lecciones aprendemos de esto?
- Use [math] \ sin ^ 2 x + \ cos ^ 2 x = 1 [/ math] para eliminar el poder de sinx en el denominador.
- Haga uso de cosx en el numerador con el propósito de integral por partes, quiero decir algo como esto [matemáticas] \ frac {\ cos x} {\ sin ^ nx} dx = – \ frac {1} {n-1} d \ frac {1} {\ sin ^ {n-1} x} [/ math]
- Utilice la expresión para [math] I_n [/ math] y el sorprendente resultado:
[matemáticas] \ int_ {0} ^ {\ pi / 2} dx \ frac {\ sin 2nx \ cos x} {\ sin x} = \ frac {\ pi} {2} (\ text {la identidad es independiente de n!}) [/ math]
Ahora, estamos listos para atacar el problema original armado con las nuevas lecciones que acabamos de aprender.
[matemáticas] \ int_ {0} ^ {\ pi / 2} dx \ frac {\ sin ^ 4nx} {\ sin ^ 4x} = \ int_ {0} ^ {\ pi / 2} dx \ frac {\ sin ^ 4nx \ cdot (\ sin ^ 2 x + \ cos ^ 2 x)} {\ sin ^ 4x} [/ math]
[matemáticas] = \ int_ {0} ^ {\ pi / 2} dx \ frac {\ sin ^ 4nx} {\ sin ^ 2x} – \ frac {1} {3} \ int_ {0} ^ {\ pi / 2} \ sin ^ 4 nx \ cos xd \ frac {1} {\ sin ^ 3 x} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ int_ {0} ^ {\ pi / 2} dx \ frac {\ sin ^ 4nx} {\ sin ^ 2x} + \ frac {1} {3} \ int_ {0} ^ {\ pi / 2} dx \ frac {4n \ sin ^ 3 nx \ cos nx \ cos x – \ sin ^ 4 nx \ sin x} {\ sin ^ 3 x} [/ matemática]
[matemáticas] = \ frac {2} {3} \ int_ {0} ^ {\ pi / 2} dx \ frac {\ sin ^ 4nx} {\ sin ^ 2x} – \ frac {n} {3} \ int_ {0} ^ {\ pi / 2} \ sin ^ 2 nx \ sin 2nx d \ frac {1} {\ sin ^ 2x} [/ matemática]
[matemáticas] = \ frac {2} {3} \ int_ {0} ^ {\ pi / 2} dx \ frac {\ sin ^ 4nx} {\ sin ^ 2x} – \ frac {n ^ 2} {3} \ int_ {0} ^ {\ pi / 2} dx \ frac {\ sin ^ 2 2nx + 2 \ sin ^ 2 nx (1-2 \ sin ^ 2 nx)} {\ sin ^ 2 x} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ left (\ frac {2} {3} – \ frac {4n ^ 2} {3} \ right) \ int_ {0} ^ {\ pi / 2} dx \ frac {\ sin ^ 4nx} {\ sin ^ 2x} + \ frac {n ^ 2} {3} \ int_ {0} ^ {\ pi / 2} dx \ frac {\ sin ^ 2 2nx} {\ sin ^ 2x} + \ frac {2n ^ 2} {3} \ int_ {0} ^ {\ pi / 2} dx \ frac {\ sin ^ 2 nx} {\ sin ^ 2x} [/ matemática]
¡Estamos casi alli! ¡Solo queda una nueva integral!
[matemáticas] \ int_ {0} ^ {\ pi / 2} dx \ frac {\ sin ^ 4nx} {\ sin ^ 2x} = \ int_ {0} ^ {\ pi / 2} dx \ frac {\ sin ^ 4nx \ cdot (\ sin ^ 2 x + \ cos ^ 2 x)} {\ sin ^ 2x} [/ math]
[matemáticas] = \ int_ {0} ^ {\ pi / 2} \ sin ^ 4 nx dx – \ int_ {0} ^ {\ pi / 2} \ sin ^ 4nx \ cos xd \ frac {1} {\ sin x} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ int_ {0} ^ {\ pi / 2} \ frac {2n \ sin ^ 2 nx \ sin 2nx \ cos x} {\ sin x} = n \ int_ {0} ^ {\ pi / 2 } \ frac {(1- \ cos 2nx) \ sin 2nx \ cos x} {\ sin x} [/ math]
[matemáticas] = n \ int_ {0} ^ {\ pi / 2} \ frac {(\ sin 2nx- \ frac {1} {2} \ sin 4nx) \ cos x} {\ sin x} [/ matemáticas]
[matemáticas] = n \ cdot \ frac {\ pi} {2} \ left (1 – \ frac {1} {2} \ right) = \ frac {n \ pi} {4} [/ math]
Junta cada pieza, usa [math] J_n [/ math] para denotar la integral original,
[matemáticas] J_n = \ left (\ frac {2} {3} – \ frac {4n ^ 2} {3} \ right) \ cdot \ frac {n \ pi} {4} + \ frac {n ^ 2} {3} \ cdot \ frac {\ pi} {2} \ cdot (2n) + \ frac {2n ^ 2} {3} \ cdot \ frac {\ pi n} {2} = \ frac {\ pi} { 6} n (2n ^ 2 + 1). [/ Matemáticas]
¡Excelente! ¡Resolvimos este difícil problema que incluso Mathematica no sabe cómo obtener este simple resultado!