Cómo encontrar la ecuación cúbica cuyas raíces son los cuadrados de la de [matemáticas] x ^ 3 + 2x + 1 = 0 [/ matemáticas]

Answer 1

No es necesario encontrar las raíces de esta ecuación para responder la pregunta. Suponga que [matemática] r_1 [/ matemática], [matemática] r_2 [/ matemática], [matemática] r_3 [/ matemática] son ​​las raíces de la ecuación anterior. Luego al expandir

[matemática] (x-r_1) (x-r_2) (x-r_3) [/ matemática] y al comparar la expansión con la ecuación anterior, encontramos que

[matemáticas] e_1 = r_1 + r_2 + r_3 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] e_2 = r_1r_2 + r_2r_3 + r_3r_1 = 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] e_3 = r_1r_2r_3 = – 1 [/ matemáticas]

La tarea en cuestión es encontrar otra ecuación con raíces.

[matemática] r_1 ^ 2 [/ matemática], [matemática] r_2 ^ 2 [/ matemática], [matemática] r_3 ^ 2 [/ matemática]

Para hacer esto, hacemos uso de las identidades de Newton que se describen con mucho más detalle de lo necesario en Wikipedia aquí. Los nombres que he usado anteriormente coinciden con los nombres en el artículo de Wikipedia.

Ahora, para tomar el caso en cuestión, defina las mismas cantidades para las nuevas raíces:

[matemáticas] E_1 = r_1 ^ 2 + r_2 ^ 2 + r_3 ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] E_2 = r_1 ^ 2r_2 ^ 2 + r_2 ^ 2r_3 ^ 2 + r_3 ^ 2r_1 ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] E_3 = r_1 ^ 2 r_2 ^ 2 r_3 ^ 2 [/ matemáticas]

Estas cantidades están relacionadas con el primer conjunto de manera simple.

Por ejemplo, podemos ver fácilmente que

[matemáticas] E_3 = e_3 ^ 2 [/ matemáticas]

Con un poco más de trabajo podemos ver que

[matemáticas] e_1 ^ 2 = E_1 + 2e_2 [/ matemáticas]

Esto implica [matemáticas] E_1 = e_1 ^ 2-2e_2 [/ matemáticas]

Finalmente,

[matemáticas] e_2 ^ 2 = E_2 + 2e_3e_1 [/ matemáticas]

Como [math] e_3 [/ math] y [math] e_1 [/ math] ya se conocen, tenemos

[matemáticas] E_2 = e_2 ^ 2 -2e_3e_1 = 4 [/ matemáticas]

y combinado con lo que teníamos antes:

[matemáticas] E_3 = e_3 ^ 2 = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] E_1 = e_1 ^ 2–2e_2 = 0 -2 (2) = -4 [/ matemáticas]

La ecuación requerida es

[matemáticas] x ^ 3-E_1x ^ 2 + E_2x-E_3 = 0 [/ matemáticas]

o explícitamente

[matemáticas] x ^ 3 + 4x ^ 2 + 4x-1 = 0 [/ matemáticas]

Actualización: solucioné un error en el cálculo de [math] E_2 [/ math]

Answer 2

Gracias por el A2a, pero Bruce ya lo logró. Estaba a punto de publicar sobre el pequeño error de cálculo, pero él acaba de hacer eso, el problema está resuelto. Lo único que queda por hacer es verificar, así que esto es lo que dice Mathematica:

raíces = x /. NSolve [x ^ 3 + 2 x + 1 == 0, {x}]

{-0.453398, 0.226699 – 1.46771 I, 0.226699 + 1.46771 I}

rootsSquared = x /. NSolve [x ^ 3 + 4 x ^ 2 + 4 x – 1 == 0, {x}]

-2.10278 – 0.665457 I, -2.10278 + 0.665457 I , 0.205569 }

raíces ^ 2

{ 0.205569 , -2.10278 – 0.665457 I, -2.10278 + 0.665457 I }

NSolve invirtió el orden de las raíces correspondientes, por lo que cambié los estilos de fuente para enfatizar el acuerdo de “raíces ^ 2” y el segundo NSolve.

Answer 3

[matemáticas] x ^ 3 + 2x + 1 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] y = x ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = y ^ {\ frac 1 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] y ^ {\ frac 3 2} + 2 y ^ {\ frac 1 2} + 1 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] y ^ {\ frac 1 2} (y + 2) = -1 [/ matemáticas]

[matemáticas] y ^ {\ frac 1 2} = – \ dfrac {1} {y + 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] y = \ dfrac {1} {(y + 2) ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] y (y + 2) ^ 2 – 1 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] y ^ 3 + 4y ^ 2 + 4y – 1 = 0 [/ matemáticas]

Esa es la respuesta.

Verificación: [matemáticas] y = x ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 6 + 4 x ^ 4 + 4 x ^ 2 – 1 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (x ^ 3 + 2x + 1) (x ^ 3 + 2x -1) = 0 \ quad \ marca de verificación [/ matemáticas]

Comprobando esa factorización:

[matemáticas] (x ^ 3 + 2x + 1) (x ^ 3 + 2x -1) = x ^ 6 + 2x ^ 4 – x ^ 3 + 2x ^ 4 + 4x ^ 2 – 2x + x ^ 3 + 2x – 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] = x ^ 6 + 4 x ^ 4 + 4x ^ 2 – 1 \ quad \ marca de verificación [/ matemáticas]