¿Existe una función [math] f (x) \ colon \ mathbb R \ to \ mathbb R [/ math] de manera que [math] f (f (x)) = -x [/ math] para todos [math] x [/matemáticas]?

Answer 1

¿Existe una función f (x), con dominio el conjunto de todos los números reales, de modo que f (f (x)) = -x para todas las x?

Mientras escribo esto, dos de las respuestas contraídas (con voto negativo) señalan que [math] f (x) = ix [/ math] funcionaría, pero con el dominio restringido a [math] \ mathbb {R} [/ math] , no podría iterar esa función, ya que el rango son números puramente imaginarios (junto con 0).

Aquí hay una función que funciona (bueno, estoy 99% seguro de que funciona; siéntase libre de verificarme al respecto): Deje [math] f (0) = 0 [/ math]. Para [matemática] x> 0 [/ matemática], defina [matemática] f (x) = x + 1 [/ matemática] si [matemática] \ lceil x \ rceil [/ matemática] es impar y [matemática] 1-x [/ math] si [math] \ lceil x \ rceil [/ math] es par. Para [matemática] x <0 [/ matemática], defina [matemática] f (x) = – f (-x) [/ matemática]. Aquí [math] \ lceil x \ rceil [/ math] es la función "techo" (mínimo entero). El siguiente gráfico muestra esta función (rojo) y la composición de esta función consigo mismo (azul):

El resto de esto es trabajo que escribí antes de llegar a la respuesta anterior, que en su mayoría me ayudó a pensar a través de la “mecánica” de construir esta función. (En otras palabras, puede omitir todo lo que sigue, pero lo dejo aquí como un archivo de mi proceso de pensamiento).

Lema 1: Tal función sería tanto uno a uno (inyectiva) como sobre (sobreyectiva).

Prueba: suponga que [matemáticas] f (a) = f (b) [/ matemáticas]. Entonces [math] -a = f (f (a)) = f (f (b)) = – b [/ math], entonces [math] a = b [/ math]., Y así [math] f [ / math] es uno a uno. Mientras tanto, para cualquier [math] a \ in \ mathbb {R} [/ math], el número [math] b = f (-a) [/ math] es tal que [math] f (b) = a [/ matemática], entonces [matemática] f [/ matemática] está en. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Lema 2: Para tal función, [matemática] f (0) = 0 [/ matemática].

Prueba: suponga que [math] f (0) = a [/ math]. Entonces [matemática] f (a) = 0 [/ matemática] y [matemática] f (f (a)) = f (0) = – a [/ matemática]. Habiendo demostrado que [math] a = -a [/ math], concluimos que [math] a = 0 [/ math]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

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Sea [math] g = f ^ {- 1} [/ math] la función inversa de [math] f [/ math]. Tenga en cuenta que [math] g [/ math] es (por supuesto) también uno a uno y sobre, y tiene la misma propiedad funcional que [math] f [/ math]; es decir, para todas [matemáticas] x [/ matemáticas], [matemáticas] g (g (x)) = – x [/ matemáticas].

Dado [matemática] x [/ matemática], sea [matemática] b = f (x) [/ matemática] y [matemática] c = f (-x) [/ matemática]. Entonces [matemática] f (b) = – x [/ matemática] y [matemática] f (c) = x [/ matemática], y también [matemática] -b = f (f (b)) = f (-x ) = c [/ matemáticas]. Por lo tanto, para todas [matemáticas] x [/ matemáticas], [matemáticas] x = f (c) = f (-b) = f (-f (x)) [/ matemáticas]. De manera equivalente, [matemáticas] g (x) = – f (x) [/ matemáticas] para todas las [matemáticas] x [/ matemáticas]; es decir, [math] f [/ math] y su función inversa son opuestos.

Con la condición de que [math] f (x) \ in \ mathbb {R} [/ math], sabemos que para todos [math] x \ ne 0 [/ math], [math] f (x) [/ math ] es positivo o negativo. Deje que [math] S_1 = \ {x \ ne 0: [/ math] [math] x [/ math] y [math] f (x) [/ math] tengan el mismo signo [math] \} [/ math] y [matemática] S_2 = \ {x \ ne 0: [/ matemática] [matemática] x [/ matemática] y [matemática] f (x) [/ matemática] tienen signos opuestos [matemática] \} [/ matemática]. Tenga en cuenta que ninguno de estos conjuntos está vacío:

• Si [matemática] x \ en S_1 [/ matemática], entonces [matemática] f (x) \ en S_2 [/ matemática], porque [matemática] f (f (x)) = – x [/ matemática], que tiene el signo opuesto como [matemática] x [/ matemática] y [matemática] f (x) [/ matemática].
• Del mismo modo, si [math] x \ en S_2 [/ math], entonces [math] f (x) \ en S_1 [/ math].

En general, la función [matemática] f [/ matemática] debe intercambiar los conjuntos [matemática] S_1 [/ matemática] y [matemática] S_2 [/ matemática]; es decir, [matemáticas] f (S_1) = S_2 [/ matemáticas] y [matemáticas] f (S_2) = S_1 [/ matemáticas]. Además, tanto [math] S_1 [/ math] como [math] S_2 [/ math] están cerrados bajo negación; es decir, si [math] x \ en S_k [/ math], entonces [math] f (f (x)) = – x \ en S_k [/ math].

Answer 2

Hay muchas, muchas, muchas de esas funciones. Incontablemente muchos.

Deje que [math] P = \ mathbb {R} _ {> 0} [/ math] sea el conjunto de números reales positivos. Sea [math] g: P \ to P [/ math] cualquier involución libre de punto fijo, es decir, cualquier función que satisfaga [math] g (g (x)) = x [/ math] y [math] g (x ) \ neq x [/ math] para todos [math] x> 0 [/ math].

Para encontrar tales funciones, simplemente empareje los elementos de [math] P [/ math] entre sí de la forma que desee. Lo que esto significa es que puedes elegir cualquier número positivo, decir [matemáticas] 23 [/ matemáticas], y cualquier otro número positivo, decir [matemáticas] e + \ sqrt {17} [/ matemáticas], y declararlos un par. Luego defina [math] g (23) = e + \ sqrt {17} [/ math] y [math] g (e + \ sqrt {17}) = 23 [/ math]. Proceda a declarar otro par y continúe haciéndolo hasta que todos los números positivos estén emparejados.

Oficialmente, para examinar todas esas funciones, necesitará usar el lema de Zorn o un buen orden de los reales o el Axioma de Elección, pero debe quedar razonablemente claro que hay muchos de ellos. Si prefiere definiciones explícitas, puede hacer algo como esto: let [math] g (x) = x + \ frac {1} {2} [/ math] if [math] m \ leq x

Una vez que haya elegido dicha función [matemática] g [/ matemática], defina la función [matemática] f [/ matemática] de la siguiente manera: siempre que [matemática] g (a) = b [/ matemática] con [matemática] a

[matemáticas] f (a) = b [/ matemáticas]

[matemáticas] f (b) = – a [/ matemáticas]

[matemáticas] f (-a) = – b [/ matemáticas]

[matemáticas] f (-b) = a [/ matemáticas]

Esto define [matemática] f [/ matemática] para todos los números reales excepto [matemática] 0 [/ matemática]. Finalmente, establezca [matemáticas] f (0) = 0 [/ matemáticas] y ya está.

Para cualquier par [matemática] a, b [/ matemática], también puede elegir claramente ir al revés, mapeando [matemática] b [/ matemática] a [matemática] a [/ matemática] y así sucesivamente. Todas las soluciones [matemáticas] f [/ matemáticas] a la ecuación funcional [matemáticas] f (f (x)) = – x [/ matemáticas] se obtienen utilizando el procedimiento que describí: seleccione una involución [matemáticas] g [/ matemática] y defina [matemática] f [/ matemática] en una de las dos formas posibles para cada par [matemática] (a, b) [/ matemática] con [matemática] g (a) = b [/ matemática].

Para ver por qué, considere lo que cualquier [matemática] f [/ matemática] debe hacer a un número positivo arbitrario [matemática] a [/ matemática]. Debe enviarlo a algún número [math] b [/ math]. ¿A dónde debe llevar [matemáticas] b [/ matemáticas]? Obviamente tiene que llevarlo a [math] -a [/ math], para que [math] f (f (a)) = – a [/ math] sea confirmado. ¿Qué sigue? Por la misma razón, debe asignar [math] -a [/ math] a [math] -b [/ math] y [math] -b [/ math] a [math] a [/ math]. Observe que esto fuerza [matemáticas] a \ neq b [/ matemáticas]. También tenga en cuenta que [math] a \ mapsto b [/ math] o [math] -b \ mapsto a [/ math] implica números positivos.

Entonces [math] f [/ math] debe consistir en esos 4 ciclos en todas partes, pero de lo contrario no está limitado. Por lo tanto, se define de manera única por cualquier emparejamiento [matemático] (a, b) [/ matemático] de los números positivos, con la libertad de crear un ciclo de 4 en cualquier dirección de cada par.

Esto es probablemente lo más cerca que podemos llegar a una descripción explícita de todas las soluciones posibles [math] f [/ math]. La libertad inherente a la elección del emparejamiento [math] g [/ math] es bastante masiva, y no puede haber una lista explícita de todas las opciones (solo hay innumerables descripciones explícitas posibles de cualquier cosa, mientras que hay innumerables emparejamientos) . Sin embargo, hay infinitas combinaciones que se pueden describir explícitamente, como la “más mitad menos mitad” que mencioné.

Answer 3

¿Existe una función [math] f (x) \ colon \ mathbb R \ to \ mathbb R [/ math] de manera que [math] f (f (x)) = -x [/ math] para todos [math] x [/ matemáticas] ?

Como dice Alon Amit, hay muchas, muchas de esas funciones. ¡No solo innumerables, sino el conjunto de poder de innumerables!

Elija cualquier subconjunto [math] A \ subset \ mathbb R ^ + [/ math] con cardinalidad [math] | \ mathbb R | [/ math] cuyo complemento [math] A ‘= \ mathbb R ^ + \ setminus A \ subset \ mathbb R ^ + [/ math] también tiene cardinalidad [math] | \ mathbb R | [/ math] entonces, por definición de cardinalidad, existe una biyección [math] \ phi \ colon A \ leftrightarrow A ‘[/ math ] Defina [math] f \ colon \ mathbb R \ to \ mathbb R [/ math] de la siguiente manera:

[matemáticas] \ quad f (x) = \ begin {cases} 0 & \ text {if $ x = 0 $} \\\ phi (x) & \ text {if $ x \ en A $} \\ – \ phi (x) & \ text {if $ x \ en A ‘$} \\\ phi (-x) & \ text {if $ -x \ en A $} \\ – \ phi (-x) & \ text { if $ -x \ en A ‘$} \ end {cases} [/ math]

Entonces [matemática] f (x) [/ matemática] recorre los cuatro conjuntos [matemática] \ pm A, \ mp A ‘[/ matemática], excepto por cero de tal manera que [matemática] f (f (x) ) = – x [/ math] para todos [math] x [/ math].

Tal [math] f [/ math] existe para cualquier partición de [math] \ mathbb R ^ + [/ math] en dos subconjuntos incontables. Hay [math] 2 ^ {| \ mathbb R |} [/ math] tales particiones. ¡Un lote horrible! Ninguno de ellos continuo, por supuesto, y en realidad no he construido uno para ti, pero no puedes tenerlo todo, ¿verdad?