¿Hay un nombre para tal ecuación en matemáticas: [matemáticas] f (F) = F (f) [/ matemáticas]? En caso afirmativo, ¿qué describe o cuándo puede existir?

Answer 1

⑴ f (g (x)) ≡g (f (x)) ≡ x iff g (x) ≡f-1 (x) yf (x) ≡g-1 (x) debido a la ley de función: ff- 1 (x) ≡f-1f (x) = x

Eso significa que f (x) yg (x) son FUNCIONES MUTUAMENTE INVERSAS, MIVF.

⑵ Si ff (x) ≡ x, es decir,

cuando la función de autocomposición de f (x) es igual a la FUNCIÓN DE IDENTIDAD f (x) ≡x,

entonces f (x) es una FUNCIÓN AUTO INVERSA, SIVF.

⑶ El EJEMPLO MÁS SIMPLE DE FUNCIONES MUTUAMENTE INVERSAS, MIVF, es:

(i) El más famoso: f (x) = e ^ x y g (x) = ㏑x

(ii) f (x) ≡x + 1 yg (x) ≡x — 1

(iii) p (x) = √x y q (x) = x², x≥0

Las gráficas de MIVF son REFLEXIONES DE CADA UNO en la línea y = x

⑷ Los ejemplos simples de SIVF son:

f (x) ≡ ± x

g (x) ≡k — x, k∈ | R

h (x) ≡k / x, ky∈ | R

p (x) ≡√ (1-x²), el cuarto de círculo de unidad de radio y centro (0,0)

⑸ La gráfica de un SIVF es SIMÉTRICA sobre la línea y = x

Answer 2

Depende de lo que estés preguntando. Si realmente está preguntando cuándo puede tener [matemáticas] f (F (x)) = F (f (x)) [/ matemáticas], entonces esta es solo la afirmación de que las funciones [matemáticas] F, f [/ matemáticas ] viaje, y esto sucede todo el tiempo.

Si realmente quiere decir que conecta [matemática] F [/ matemática] en [matemática] f [/ matemática] y [matemática] f [/ matemática] en [matemática] F [/ matemática] y obtiene el mismo resultado , entonces me temo que eso es imposible.

A primera vista, ciertamente parece que debería poder hacerlo. Por ejemplo, ¿por qué no podrías simplemente definir

[matemáticas] F: \ {f \} \ rightarrow \ {1 \} [/ matemáticas]

[matemáticas] f: \ {F \} \ rightarrow \ {1 \} [/ matemáticas],

y terminar con eso?

Bueno, veamos esto un poco más de cerca. ¿En qué conjunto se define [math] f [/ math]? En el elemento que contiene [matemáticas] F [/ matemáticas], por supuesto. Pero [math] F [/ math] se define en términos de [math] f [/ math], por lo que está sucediendo algo excepcionalmente extraño. Nuestra definición es recursiva, y si realmente comienza a profundizar en la teoría de conjuntos subyacente, se dará cuenta de que su construcción en realidad viola la fundamentación.

Ahora, hay teorías de conjuntos no bien fundadas, pero no sé mucho sobre ellas, me temo.

Answer 3

Mi pregunta es ¿cree que existe tal función: [matemáticas] f (f (x)) [/ matemáticas] [matemáticas] = x [/ matemáticas] [matemáticas] (\ forall x \ en D_f) [/ matemáticas]? Sí, ese es un ejemplo particular de la situación que desea que describamos, cuando [matemáticas] F (f) = x [/ matemáticas] y [matemáticas] F = f [/ matemáticas].

La respuesta es sí, y hay una propiedad bastante buena para este tipo de función llamada ” función involutiva “. El primer ejemplo simple que debe venir a su mente es [matemáticas] f (x) = \ frac {1} {x}, \ forall x \ neq 0 [/ matemáticas], y tiene razón, de hecho, [matemáticas] f (x) = \ frac {b} {xa} + a, \ forall x \ neq a [/ math] es la función general del primer caso. Otros dos ejemplos simples: [matemática] f (x) = x [/ matemática] y [matemática] f (x) = -bx. [/ Matemática] El hecho interesante es que las curvas que representan estas funciones tienen una simetría axial con como eje de simetría, una diagonal paralela a la diagonal del plano (que separa el plan en dos), que es bastante lógico e incluso intuitivo, ya que una simetría es una involución.

Answer 4

Quizás f y F son funciones escritas en código de computadora.

La función f () toma como entrada una función y devuelve el número de líneas de espacios en blanco que tiene.

La función F () toma como entrada una función y devuelve el número de líneas ejecutables que tiene.

Entonces f (F) = F (f) significa que el número de líneas de espacios en blanco en la función F () es igual al número de líneas ejecutables en la función f ().

Algo como eso.

Answer 5

Si por f (F) y F (f) estás implicando notación de función, f (F (x)) = x (para todas las x en el dominio de F (x)) y F (f (x)) = x (para todas las x en el dominio de f (x)) si y solo si f (x) y F (x) son inversas. (Por lo tanto, f (F (x)) = F (x)) = x.)

Answer 6

Si quiere decir que enchufar una antiderivada F en una función f le dará lo mismo que enchufar la función f en la antiderivada F,

Entonces creo que tengo una respuesta posible:

La integral de [math] e ^ x [/ math] es en sí misma ([math] e ^ x [/ math]). Entonces, tanto para f (F) como para F (f), obtendría [math] e ^ (e ^ x) [/ math].

Creo que esto se llamaría la función exponencial natural …

Answer 7

Si f y F son funciones, entonces f (F) es una función compuesta de f y F y f (F) = F (f) representa la conmutatividad de la relación de composición.