Cómo determinar [matemáticas] \ suma \ límites_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {n} {4n ^ 4 + 1} [/ matemáticas] a mano

La serie dada converge , como se puede ver al comparar con la serie convergente [math] \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {n ^ 3} [/ math].

Tenga en cuenta que

[matemáticas] 4n ^ 4 + 1 = (2n ^ 2 + 1) ^ 2 – (2n) ^ 2 = (2n ^ 2 + 2n + 1) (2n ^ 2–2n + 1) [/ matemáticas],

y eso

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {n} {4n ^ 4 + 1} = \ displaystyle \ frac {n} {(2n ^ 2 + 2n + 1) (2n ^ 2–2n + 1)} = \ displaystyle \ frac {1} {4} \ left (\ displaystyle \ frac {1} {2n (n-1) +1} – \ displaystyle \ frac {1} {2n (n + 1) +1} \ right) [/ math ]

Por lo tanto

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ N \ displaystyle \ frac {n} {4n ^ 4 + 1} = \ displaystyle \ frac {1} {4} \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ N \ left (\ displaystyle \ frac {1} {2n (n-1) +1} – \ displaystyle \ frac {1} {2n (n + 1) +1} \ right) = \ displaystyle \ frac {1} { 4} \ left (1 – \ displaystyle \ frac {1} {2N (N + 1) +1} \ right) [/ math]. … (1)

Al tomar el límite como [matemática] N [/ matemática] tiende al infinito de ambos lados en la ecuación. (1), obtenemos

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ displaystyle \ frac {n} {4n ^ 4 + 1} = \ displaystyle \ frac {1} {4} [/ math].

pfa