La serie dada converge , como se puede ver al comparar con la serie convergente [math] \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {n ^ 3} [/ math].
Tenga en cuenta que
[matemáticas] 4n ^ 4 + 1 = (2n ^ 2 + 1) ^ 2 – (2n) ^ 2 = (2n ^ 2 + 2n + 1) (2n ^ 2–2n + 1) [/ matemáticas],
y eso
- ¿Cómo encontramos el valor de (11.03) ^ 1/3 de una manera fácil?
- En operaciones y números de coma flotante de precisión simple, ¿cuál es el mínimo positivo [matemática] X [/ matemática] donde [matemática] \ displaystyle \ frac {X} {X + 1} = 1 [/ matemática]?
- ¿Cuál es el resto cuando x ^ 2015 se divide entre [matemáticas] x ^ 2-3x + 2 [/ matemáticas]?
- ¿En qué circunstancias [matemáticas] 1 + 2 \ cdot 3 + 4 [/ matemáticas] no evaluaría a [matemáticas] 11 [/ matemáticas] (aritmética de base 10)?
- ¿Existe una propiedad matemática que muestre [matemáticas] 5-2-1 = 5- (2 + 1) [/ matemáticas]?
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {n} {4n ^ 4 + 1} = \ displaystyle \ frac {n} {(2n ^ 2 + 2n + 1) (2n ^ 2–2n + 1)} = \ displaystyle \ frac {1} {4} \ left (\ displaystyle \ frac {1} {2n (n-1) +1} – \ displaystyle \ frac {1} {2n (n + 1) +1} \ right) [/ math ]
Por lo tanto
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ N \ displaystyle \ frac {n} {4n ^ 4 + 1} = \ displaystyle \ frac {1} {4} \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ N \ left (\ displaystyle \ frac {1} {2n (n-1) +1} – \ displaystyle \ frac {1} {2n (n + 1) +1} \ right) = \ displaystyle \ frac {1} { 4} \ left (1 – \ displaystyle \ frac {1} {2N (N + 1) +1} \ right) [/ math]. … (1)
Al tomar el límite como [matemática] N [/ matemática] tiende al infinito de ambos lados en la ecuación. (1), obtenemos
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ displaystyle \ frac {n} {4n ^ 4 + 1} = \ displaystyle \ frac {1} {4} [/ math].