Corrígeme si estoy equivocado. Sabemos
[matemáticas] e ^ x = \ displaystyle \ lim_ {m \ to \ infty} \ sum_ {n = 0} ^ {m} \ dfrac {x ^ n} {n!} [/ math]
Pero como dijiste, [matemáticas] m \ neq \ infty [/ matemáticas]
Entonces, ¿puedo decir esto? Consideremos un número [math] \ epsilon> 0 [/ math] y nuestro límite superior sería algún [math] e- \ epsilon [/ math], que depende del valor de [math] m [/ math] .
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Y aquí está mi razonamiento, ya que la suma al infinito converge a [matemáticas] e [/ matemáticas], por lo tanto, el límite superior mínimo es [matemáticas] e [/ matemáticas]. Sé que no puedo usar sum para trabajar con supremum, entonces, ¿qué tal si vuelvo a la definición de límite?
[matemáticas] e = \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (1+ \ dfrac {1} {n} \ right) ^ n [/ math]
Si solo cambio [math] \ infty [/ math] a some [math] m [/ math], creo que puedo usar el mismo razonamiento aquí. Tendré un [math] \ epsilon> 0 [/ math], de modo que la secuencia será algo [math] e- \ epsilon [/ math].
[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to m} \ left (1+ \ dfrac {1} {n} \ right) ^ n = e- \ epsilon [/ math]
Conclusión: no podremos llegar a [matemáticas] e [/ matemáticas], por lo que el límite superior debe ser algo menor que [matemáticas] e [/ matemáticas], es decir [matemáticas] e- \ epsilon [/ matemáticas], y su magnitud depende de los elegidos arbitrariamente [math] m [/ math].
Creo que lo llevé al tema de la secuencia. ¿Qué hay de la prueba de relación, qué me dice aquí?
[matemáticas] \ lim_ {n \ to m} \ left | \ dfrac {x ^ {n + 1}} {(n + 1)!} \ cdot \ dfrac {n!} {x ^ n} \ right | [ /matemáticas]
[matemáticas] = \ lim_ {n \ to m} \ left | \ dfrac {x ^ {n + 1}} {(n + 1)!} \ cdot \ dfrac {n!} {x ^ n} \ right | [/matemáticas]
[matemáticas] = \ dfrac {1} {m + 1} | x | [/ matemáticas]
La suma converge siempre que [matemática] m> 0 [/ matemática] y [matemática] -1 <x <1 [/ matemática]
Intentaré un poco más. Por último, déjame probar la serie de Taylor con el término restante.
[matemáticas] e ^ x = \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ {m} \ dfrac {x ^ n} {n!} + \ dfrac {e ^ {cx} x ^ {m + 1}} {( m + 1)!} [/ matemáticas]
Si digo [matemáticas] c \ en [0,1] [/ matemáticas], tengo
[matemáticas] \ dfrac {x ^ {m + 1}} {(m + 1)!} \ leq e ^ x- \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ {m} \ dfrac {x ^ n} {n !} \ leq \ dfrac {e ^ xx ^ {m + 1}} {(m + 1)!} [/ math]
[matemáticas] \ implica \ dfrac {x ^ {m + 1}} {(m + 1)!} – e ^ x \ leq- \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ {m} \ dfrac {x ^ n } {n!} \ leq \ dfrac {e ^ xx ^ {m + 1}} {(m + 1)!} – e ^ x [/ math]
[matemáticas] \ implica \ dfrac {e ^ xx ^ {m + 1}} {(m + 1)!} – e ^ x \ leq \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ {m} \ dfrac {x ^ n} {n!} \ leq e ^ x- \ dfrac {x ^ {m + 1}} {(m + 1)!} [/ math]
Parece que encontré un límite, no sé cómo me las arreglé para lograrlo, pero sí, parece que estaba en parte correcto cuando estaba hablando involuntariamente de la secuencia [matemática] e ^ x [/ matemática] por error. Dije que sería menor que [math] e [/ math], pero nunca pensé que terminaría con un límite superior y otro inferior. Entonces, pase por alto esa parte y la discusión sin sentido.