¿Puedes probar que [2x] + [2y]> [x] + [y] + [x + y]?

Answer 1

La desigualdad estricta debe ser reemplazada por la desigualdad aquí. Por ejemplo, si [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] son enteros, entonces ambos lados son iguales a [matemática] 2 (x + y) [/ matemática] .

Recuerde que, para cualquier número real [matemática] x [/ matemática], [matemática] \ lfloor x \ rfloor [/ matemática] denota el entero más grande que es menor o igual a [matemática] x [/ matemática]. Para que podamos escribir

[math] x = \ lfloor x \ rfloor + \ {x \} [/ math], [math] y = \ lfloor y \ rfloor + \ {y \} [/ math],

donde [matemáticas] \ {x \}, \ {y \} \ en [0,1) [/ matemáticas].

Desde [math] \ lfloor x + n \ rfloor = \ lfloor x \ rfloor + n [/ math], para cualquier [math] x \ in \ mathbb R [/ math] y cualquier [math] n \ in \ mathbb Z [/matemáticas],

[matemáticas] \ lfloor 2x \ rfloor + \ lfloor 2y \ rfloor = \ lfloor 2 \ lfloor x \ rfloor + 2 \ {x \} \ rfloor + \ lfloor 2 \ lfloor y \ rfloor + 2 \ {y \} \ rfloor = 2 \ lfloor x \ rfloor + 2 \ lfloor y \ rfloor + \ lfloor 2 \ {x \} \ rfloor + \ lfloor 2 \ {y \} \ rfloor [/ math],

y

[matemáticas] \ lfloor x + y \ rfloor = \ lfloor \ lfloor x \ rfloor + \ lfloor y \ rfloor + \ {x \} + \ {y \} \ rfloor = \ lfloor x \ rfloor + \ lfloor y \ rfloor + \ lfloor \ {x \} + \ {y \} \ rfloor [/ math].

Por lo tanto

[matemática] \ big (\ lfloor 2x \ rfloor + \ lfloor 2y \ rfloor \ big) – \ big (\ lfloor x \ rfloor + \ lfloor y \ rfloor + \ lfloor x + y \ rfloor \ big) = \ lfloor 2 \ {x \} \ rfloor + \ lfloor 2 \ {y \} \ rfloor – \ lfloor \ {x \} + \ {y \} \ rfloor. … (1) [/ matemáticas]

Ahora [math] \ {x \} + \ {y \} \ le \ max \ big (2 \ {x \}, 2 \ {y \} \ big) [/ math], de modo que [math] \ lfloor \ {x \} + \ {y \} \ rfloor \ le \ max \ big (\ lfloor 2 \ {x \} \ rfloor, \ lfloor 2 \ {y \} \ rfloor \ big) [/ math].

De ahí la expresión en eqn. (1) es mayor o igual que [matemáticas] 0 [/ matemáticas].

Answer 2

Suponga que x es la suma de un entero I_x y una fracción F_x, lo mismo para y también, I_y y F_y

[2 * (I_x + F_x)] + [2 * (I_y + F_y)]> [I_x + F_x] + [I_y + F_y] + [I_x + I_y + F_x + F_y]

2 * (I_x + I_y) + [2 * F_x] + [2 * F_y]> 2 * (I_x + I_y) + [F_x + F_y]

[2 * F_x] + [2 * F_y]> [F_x + F_y]

Asumiendo que F_x y F_y son ambas mayores que 0.5

2 * F_x será uno más una parte fraccionaria que, debido a la mayor función de entero, se reduce a 1. Así será 2 * F_y y F_x + F_y

1 + 1> 1 que es cierto

Esto es cierto si F_x o F_y o ambos son mayores que 0.5, sin embargo, si ambos son menores que 0.5, obtenemos 0> 0, lo cual no es cierto.