Quiero señalar que si intentamos resolver esta ecuación diferencial (no lineal de primer orden ordinario) tomando [math] z = xy [/ math], obtenemos:
[matemática] z ‘= 1-y’ [/ matemática]
[matemáticas] y ‘= 1-z’ [/ matemáticas]
[matemáticas] 1 – z ‘= erf (z) +1 [/ matemáticas]
- ¿Por qué mi respuesta al problema de diferenciación implícita [matemáticas] \ dfrac {x} {y + 1} = x ^ 2 + 3y [/ matemáticas], cuando reorganizo la ecuación, es diferente de la que no lo hago?
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- ¿Cuál es la diferencia entre ecuación diferencial e integral en mecánica de fluidos?
- Cómo calcular [matemáticas] x (t) [/ matemáticas] a partir de [matemáticas] \ frac {dx} {dt} = x ^ 2 + 5x [/ matemáticas] si sé que [matemáticas] x (0) = – 3 [/matemáticas]
- Cómo resolver esta ecuación diferencial [matemáticas] \ dfrac {d} {dt} x (t) + 3x (t) = \ sin (2t) [/ matemáticas]
y [math] \ displaystyle z ‘= \ frac {dz} {dx} = -erf (z) [/ math]
Separando las variables e integrando ambos lados:
[matemáticas] \ displaystyle \ int \ frac {1} {\ text {erf} (z)} \, dz = – \ int \, dx [/ math]
La integral a la izquierda se puede resolver tomando su expansión en serie en [math] z = 0 [/ math].
Usando Mathematica y escribiendo
FullSimplify [
ToRadicals [Integrar [Normal [Serie [1 / Erf [z], {z, 0, 10}]], z]]]
produce el resultado:
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ sqrt {\ pi} \ left (\ frac {547 z ^ {10}} {10} + \ frac {957 z ^ 8} {8} -3630 z ^ 6 + 10395 z ^ 4 + 623700 z ^ 2 + 3742200 \ ln (z) \ right)} {7484400} [/ math]
Por lo tanto, una solución de la ecuación diferencial es:
Podemos intentar simplificar la solución y tomar el primer término de la expansión en serie de la integral en [math] z = 0 [/ math]:
[matemáticas] \ displaystyle \ left (\ frac {1} {2} \ sqrt {\ pi} \ ln (z) + O \ left (z ^ 2 \ right) \ right) + \ text {constant} [/ math ]
Escribiendo el código de Mathematica:
Reduzca [1/2 Sqrt [\ [Pi]] Log [z] == -x, z] /. z -> x – y
da la salida
– (\ [Pi] ^ (3/2) / 2) <= Im [x] <\ [Pi] ^ (3/2) / 2 &&
x – y == E ^ (- ((2 x) / Sqrt [\ [Pi]]))
La solución aproximada real valorada en este caso sería:
[matemática] \ grande y = x -e ^ {- \ frac {2 x} {\ sqrt {\ pi}}} + \ text {constante} [/ matemática]
Otra forma de resolver la ecuación diferencial dada es encontrar una solución numérica. Esto se puede hacer en Mathematica utilizando una función integrada como NDSolve [] o NDSolveValue []. Se pueden encontrar y trazar varias soluciones con diferentes condiciones iniciales o límite.
Escribiendo el código
numerf = Tabla [NDSolveValue [{y ‘[x] == Erf [x – y [x]] + 1, y [i] == j},
y, {x, -15, 50}], {i, 0, 3}, {j, 0, 3}]
calcula las funciones de interpolación para dieciséis soluciones con dieciséis condiciones iniciales diferentes.
Luego escribiendo:
Trazar [Evaluar [Tabla [numerf [[i, j]] [x], {i, 0, 3}, {j, 0, 3}]],
{x, -10, 20}, ImageSize -> Large]
proporciona la siguiente gráfica de las soluciones (haga clic en la imagen para ampliarla):
Finalmente, debe notarse que si la ecuación diferencial original fue dada por
[matemáticas] y ‘= erf (x – y) [/ matemáticas]
entonces tomar [math] z ‘= 1-y’ [/ math] produciría:
[matemáticas] y ‘= 1 – z’ = erf (z) [/ matemáticas]
y
[matemáticas] z ‘= 1 – erf (z) = erfc (z) [/ matemáticas]
Esta última ecuación también se puede resolver encontrando la expansión en serie de la integral después de separar las variables, o utilizando métodos numéricos.