¿Cuál es la solución establecida para un sistema de ecuaciones en el que ambas ecuaciones son iguales a cero?

Answer 1

Vayamos más allá de su ejemplo específico a un conjunto más genérico de ecuaciones (suponiendo que a, b, c, d sean números reales distintos de cero para evitar una solución trivial):

[matemática] hacha + por = 0 [/ matemática]

[matemáticas] cx + dy = 0 [/ matemáticas]

Ahora, sin pérdida de generalidad, solo resolvemos una variable en la primera ecuación:

[matemáticas] y = – (a / b) x [/ matemáticas]

Sustituya eso en la segunda ecuación:

[matemáticas] cx- (da / b) x = 0 [/ matemáticas]

Multiplica por b y factoriza la x:

[matemáticas] (bc-da) x = 0 [/ matemáticas]

Entonces bc = da o x = 0. En el primer caso, las dos ecuaciones son equivalentes, y el conjunto de soluciones es (t, – (a / b) t) para todos los valores reales de t (esto en realidad también se extendería a todo el conjunto complejo, pero dudo que sea a dónde ibas con esta pregunta). Sin embargo, si el primer caso no se aplica, entonces [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas] por necesidad, lo que significa que [matemáticas] (0,0) [/ matemáticas] es una solución única para este sistema de ecuaciones.

Answer 2

3Y = 7Y, por lo tanto y = 0. Enchufe cero para y, y obtendrá 2x = 0, y por lo tanto x = 0, también. El origen, solo, es el conjunto de soluciones. (0,0) Es el punto de intersección de las gráficas de las líneas de ambas ecuaciones.

Answer 3

Cuando un sistema de ecuaciones lineales no tiene un término constante, se denominan homogéneos. Esto significa esencialmente que todos los términos tienen el mismo grado (también puede tener ecuaciones homogéneas de mayor grado, por ejemplo, ecuaciones cuadráticas en las que todos los términos tienen grado 2).

En general, si multiplica todas las variables de ecuaciones homogéneas por una constante, los lados derechos siguen siendo cero. Una solución es que todas las variables son cero, pero si encuentra una solución distinta de cero, todos los múltiplos de esa solución son soluciones.

¿Eso se aplica aquí? No porque la primera ecuación dice y = 2x / 3 y la segunda dice y = 2x / 7. Estos son inconsistentes a menos que x = 0, por lo que la solución x = y = 0 es única.

Answer 4

Si desea una solución no trivial para [matemáticas] x, y [/ matemáticas], el determinante

[matemáticas] \ begin {vmatrix} 2 & 3 \\ 2 & -7 \ end {vmatrix} = – 20 \ not = 0 [/ math]

tiene que ser cero, que no es el caso. Entonces, solo es posible la solución trivial [matemática] x = y = 0 [/ matemática].