¿Cómo se relacionan las ecuaciones diferenciales con las funciones propias y los valores propios?

Answer 1

Se relacionan en más de un sentido, ya que el estudio de los vectores propios y las funciones propias desempeñan un papel inmenso en la teoría ODE y PDE, pero creo que el caso más simple proviene de la teoría ODE.

Tome esta ecuación diferencial homogénea general, por ejemplo,

[matemáticas] a_ {n} y ^ n + a_ {n-1} y ^ {n-1} +… + a_ {0} y = 0 \ tag {1} [/ matemáticas]

A menudo se nos enseña a reemplazar los diferenciales anteriores con r u otra variable y formar lo que se llama la ecuación característica, a veces denominada ecuación auxiliar, es decir,

[matemáticas] a_ {n} r ^ {n} + a_ {n-1} r ^ {n-1} +… + a_ {0} = 0 \ tag {2} [/ matemáticas]

Resolver esto equivale a resolver la ecuación cuadrática generalmente simple donde las soluciones o “raíces” de la misma son lo que llamamos los valores propios de la EDO. Si tuviéramos un sistema de EDO, usaríamos estos valores propios para encontrar los vectores propios asociados con el problema y una vez que los encontremos tendríamos esencialmente la solución general del EDO suponiendo, por supuesto, que usted haya encontrado los coeficientes constantes asociados con el condiciones iniciales o límite. En este caso, sin embargo, supongamos que no tenemos un sistema y eso es todo lo que debemos resolver es el problema mencionado anteriormente. En ese caso, una vez que hayamos encontrado los valores propios de la ecuación característica, podemos determinar la solución general a la EDO, donde la forma real de esa solución depende del signo de los valores propios (positivo, negativo o complejo).

En la teoría PDE se aplican los mismos métodos, pero generalmente se necesita un poco de trabajo de pies para llegar allí. Tomemos la ecuación de calor unidimensional, por ejemplo,

[matemáticas] \ frac {\ partial u} {\ partial t} = k \ frac {\ partial ^ 2 u} {\ partial x ^ 2} \ tag {3} [/ matemática]

Sujeto a las condiciones,

[matemáticas] u (x, 0) = f (x) [/ matemáticas]

[matemáticas] u (0, t) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] u (L, t) = 0 [/ matemáticas]

Esto se puede resolver utilizando un método ingenioso llamado soluciones separables. Lo que equivale a buscar, lo adivinó, soluciones separadas en variables. Una para cada una de las variables en las que se encuentra su PDE profundo. No es necesario profundizar en detalles sobre cómo funciona, pero solo sepa que una vez que separamos el PDE, esencialmente nos quedan dos ODE ‘, uno de los cuales es de segundo orden y homogéneo, ese es el que usará valores propios para resolver.

Hay muchas más formas en que los valores propios y los vectores propios se relacionan con las EDO y PDE. Algunos más abstractos que otros, pero espero que esto les ayude a tener al menos una idea de la relación entre ellos.

Answer 2

Una definición simplista de una ecuación diferencial (DE) es una ecuación que involucra derivadas para “funciones desconocidas”, con comillas porque soy ondulado a mano.

El ejemplo estándar es encontrar una función [matemática] y = f (x) [/ matemática] cuya derivada produce una versión escalada de sí misma,

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} = cy, \ c \ in \ mathbb {R}. [/matemáticas]

Por supuesto, las soluciones son de la forma [matemática] y = Ae ^ {cx} [/ matemática] para cualquier constante [matemática] A. [/ matemática] Podemos interpretar la ecuación diferencial anterior como un operador lineal [matemática] L = \ frac {d} {dx} [/ math] actuando sobre una función [math] y. [/ math] Muchas ecuaciones diferenciales, incluidas las de orden superior, se pueden expresar de esta manera. Por ejemplo, las funciones de Bessel son soluciones para el DE

[matemáticas] x ^ 2 \ frac {d ^ 2 y} {dx ^ 2} + x \ frac {dy} {dx} + (x ^ 2 – \ alpha ^ 2) y = 0 [/ matemáticas]

para algunos parámetros [matemática] \ alpha. [/ math] El operador lineal en este DE es

[matemáticas] L_ {Bessel} = x ^ 2 \ frac {d ^ 2} {dx ^ 2} + x \ frac {d} {dx} + (x ^ 2 – \ alpha ^ 2) [/ matemáticas]

Las ecuaciones propias son DEs cuyo operador es un hamiltoniano de la ecuación de Schrodinger. Está formado por dos partes.

1) La función de densidad de probabilidad, o PDF, (relacionada con las funciones propias, [math] | \ psi \ rangle [/ math]) que representa la “ubicación” de los objetos involucrados (generalmente partículas puntuales como electrones).

2) La energía [matemática] E [/ matemática] (o valor propio) de los objetos.

Las funciones propias en sí mismas no son los PDF, sino más bien cuando multiplica las funciones propias por su complejo conjugado [matemáticas] | \ psi | ^ 2 = \ langle \ psi | \ psi \ rangle. [/matemáticas] *

La versión unidimensional más simple es la versión dependiente del tiempo con alguna función potencial [matemática] V (x) [/ matemática]

[matemática] \ left (\ frac {- \ hbar ^ 2} {2m} \ frac {d ^ 2} {dx ^ 2} + V (x) \ right) \ psi = E \ psi. [/ math]

Aquí, [math] \ psi [/ math] actúa como el [math] y [/ math] anterior. Debido a razones físicas (la energía debe ser real), [matemáticas] E \ in \ mathbb {R}. [/matemáticas]

Podemos escribir el término entre paréntesis como [math] \ hat {H} = \ frac {- \ hbar ^ 2} {2m} \ frac {d ^ 2} {dx ^ 2} + V (x) [/ math] para expresar lo anterior como

[matemáticas] \ hat {H} _ {Schrodinger} \ psi = E \ psi, [/ matemáticas]

que podemos reconocer como un operador lineal cuya acción en una función propia devuelve una constante real multiplicada por la función. Compare esto con el primer DE que menciono anteriormente.

Para la partícula libre, podemos tomar [matemática] V (x) = 0 [/ matemática] lo que significa que la energía es [matemática] \ frac {1} {2} mv ^ 2, [/ matemática] nuevamente, por razones físicas . Un conjunto de soluciones es [math] \ psi (x) = Ae ^ {ikx} [/ math] para alguna constante [math] k [/ math] que el lector interesado puede resolver.

Para un potencial más complicado, recomiendo trabajar a través del oscilador armónico.

En resumen,

1. La ecuación de Schrodinger ([matemáticas] \ hat {H} \ psi = E \ psi [/ matemáticas]) es el DE,
2. La función propia ([matemática] \ psi [/ matemática]) son las soluciones a 1.
3. Los valores propios son la energía [matemáticas] (E) [/ matemáticas], de las funciones propias en 2.

* (En una nota al margen, esta es una notación ondulada a mano por ahora. Si es unidimensional, entonces estas son funciones mensurables de Lebesgue integrables al cuadrado. Si lo desea, también podría ocupar el espacio de funciones suaves y compactamente compatibles. Depende de los problemas que estés resolviendo).