Cómo resolver [matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = x ^ 2 + y ^ 2 [/ matemáticas]

Answer 1

Deje [math] \ displaystyle y = \ sum_ {k = 0} ^ \ infty a_k x ^ k [/ math].

Usamos convolución para obtener los coeficientes de [math] y ^ 2 [/ math]:

[matemáticas] \ displaystyle y ^ 2 = \ sum_ {k = 0} ^ \ infty \ left (\ sum_ {i = 0} ^ k a_i a_ {ki} \ right) x ^ k [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ mathrm dy} {\ mathrm dx} = x ^ 2 + y ^ 2 [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 0} ^ \ infty (k + 1) a_ {k + 1} x ^ k = x ^ 2 + \ sum_ {k = 0} ^ \ infty \ left (\ sum_ { i = 0} ^ k a_i a_ {ki} \ right) x ^ k [/ math]

Comparando términos similares, para [matemáticas] k = 2 [/ matemáticas] tenemos:

[matemáticas] \ displaystyle 3a_3 = 1 + 2a_0a_2 + a_1 ^ 2 [/ matemáticas]

De otra manera:

[matemáticas] \ displaystyle (k + 1) a_ {k + 1} = \ sum_ {i = 0} ^ k a_i a_ {ki} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle a_ {k + 1} = \ frac1 {k + 1} \ sum_ {i = 0} ^ k a_i a_ {ki} [/ math]

Por lo tanto:

Deje [math] a_0 = A [/ math].

Entonces, [matemáticas] a_1 = A ^ 2. [/ Matemáticas]

[matemáticas] a_2 = A ^ 3 [/ matemáticas].

[matemáticas] a_3 = \ dfrac13 (1 + 3A ^ 4) [/ matemáticas].

Y así.

---

Bonificación: ¿notas el bonito patrón en [matemáticas] a_0 [/ matemáticas] a [matemáticas] a_2 [/ matemáticas]? Esos son los coeficientes de [math] \ dfrac {\ mathrm dy} {\ mathrm dx} = y ^ 2 [/ math]. El extra [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas] en la ecuación dada rompió el patrón.

[math] \ dfrac {\ mathrm dy} {\ mathrm dx} = y ^ 2 [/ math]

[math] \ dfrac {\ mathrm dx} {\ mathrm dy} = y ^ {- 2} [/ math]

[matemáticas] x = – \ dfrac1y + C [/ matemáticas]

[matemáticas] y = \ dfrac1 {Cx} [/ matemáticas]

Answer 2

Quiero señalar que la solución a la ecuación diferencial dada con seis funciones de Bessel se puede obtener de Wolfram Alpha o con la ayuda de Mathematica escribiendo el código:

DSolve [y ‘[x] == x ^ 2 + y [x] ^ 2, y [x], x]

Esta solución es:

[matemáticas] \ displaystyle \ large y (x) = \ frac {x ^ 2 \ left (c_1 J _ {\ frac {3} {4}} \ left (\ frac {x ^ 2} {2} \ right) – c_1 J _ {- \ frac {5} {4}} \ left (\ frac {x ^ 2} {2} \ right) -2 J _ {- \ frac {3} {4}} \ left (\ frac {x ^ 2} {2} \ right) \ right) -c_1 J _ {- \ frac {1} {4}} \ left (\ frac {x ^ 2} {2} \ right)} {2 x \ left (c_1 J _ {- \ frac {1} {4}} \ left (\ frac {x ^ 2} {2} \ right) + J _ {\ frac {1} {4}} \ left (\ frac {x ^ 2} {2} \ right) \ right)} [/ math]

La solución anterior se puede simplificar escribiendo:

FullSimplify [DSolve [y ‘[x] == x ^ 2 + y [x] ^ 2, y [x], x]]

El resultado es una solución con cuatro funciones de Bessel del primer tipo:

[matemáticas] \ displaystyle \ large \ boxed {y (x) = \ frac {x \ left (k J _ {\ frac {3} {4}} \ left (\ frac {x ^ 2} {2} \ right) -J _ {- \ frac {3} {4}} \ left (\ frac {x ^ 2} {2} \ right) \ right)} {k J _ {- \ frac {1} {4}} \ left ( \ frac {x ^ 2} {2} \ right) + J _ {\ frac {1} {4}} \ left (\ frac {x ^ 2} {2} \ right)}} [/ math]

A continuación se muestra un gráfico tridimensional de la solución anterior para valores variables de [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] k [/ matemáticas] (de Wolfram Alpha):

Como resultado general relacionado, la solución a la ecuación diferencial [matemática] \ displaystyle a y ‘(x) = bx ^ 2 + cy (x) ^ 2 [/ matemática] se encuentra (verificada con Mathematica):

[matemáticas] \ displaystyle \ large y (x) = \ frac {x \ sqrt {\ frac {b} {a}} \ left (c_1 J _ {\ frac {3} {4}} \ left (\ frac {\ sqrt {bc}} {2 a} x ^ 2 \ right) -J _ {- \ frac {3} {4}} \ left (\ frac {\ sqrt {bc}} {2 a} x ^ 2 \ right) \ right)} {\ sqrt {\ frac {c} {a}} \ left (J _ {\ frac {1} {4}} \ left (\ frac {\ sqrt {bc}} {2 a} x ^ 2 \ right) + c_1 J _ {- \ frac {1} {4}} \ left (\ frac {\ sqrt {bc}} {2 a} x ^ 2 \ right) \ right)} [/ math]

Answer 3

Inicialmente, esto puede parecer complicado, ¡pero no es demasiado difícil de resolver porque podemos transformarlo en una ecuación lineal! Recordemos que esta ODE es una ecuación de Riccati. Por lo tanto, podemos hacer la sustitución [math] y = – \ frac {u ‘} {u} = – \ frac {1} {u} \ frac {du} {dx} [/ math].

Entonces, podemos reescribir la ecuación como [matemáticas] – \ frac {u”u- (u ‘) ^ {2}} {u ^ {2}} = x ^ {2} + \ frac {(u’) ^ {2}} {u ^ {2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] 0 = x ^ {2} + \ frac {u ”} {u} [/ matemáticas]

[matemáticas] 0 = u ” + x ^ {2} u [/ matemáticas]

Ahora, puedes hacer un poco de manipulación algebraica y obtener la forma de la ecuación de Bessel. O puede usar el método Frobenius. Habrás resuelto para [math] u [/ math]. Y puede obtener [math] y [/ math] de la sustitución.

Answer 4

Deje [math] y = – \ dfrac {u ^ \ prime} {u} [/ math] para alguna función diferenciable [math] u [/ math] de [math] x [/ math].

Luego, usando la regla de cociente habitual, [matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {-u \, u ^ {\ prime \ prime} + (u ^ \ prime) ^ 2} {u ^ 2} .[/matemáticas]

Sustituyendo en la ecuación diferencial, obtenemos

[matemáticas] x ^ 2 + \ dfrac {(u ^ \ prime) ^ 2} {u ^ 2} = \ dfrac {-u \, u ^ {\ prime \ prime} + (u ^ \ prime) ^ 2} {u ^ 2}. [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 = \ dfrac {-u \, u ^ {\ prime \ prime}} {u ^ 2}. [/ matemáticas]

[matemáticas] ux ^ 2 = -u ^ {\ prime \ prime}. [/ matemáticas]

[matemáticas] u ^ {\ prime \ prime} + x ^ 2u = 0. [/ matemáticas]

Luego puede resolver esta ecuación diferencial utilizando métodos de series de potencia. Recuerde, al final, sustituir sus soluciones de [matemáticas] u [/ matemáticas] en [matemáticas] y = – \ dfrac {u ^ \ prime} {u} [/ matemáticas] para revelar las soluciones de [matemáticas] y [/matemáticas].

Answer 5

No parece que haya una buena solución de forma cerrada. WolframAlpha ofrece uno en términos de seis funciones diferentes de Bessel
Motor de conocimiento computacional

Answer 6

Prueba la sustitución polar. poner x = rcost, y = rsint, entonces [math] dy / dx = rcostdt + sintdr / -rsintdt + costdr = r ^ 2
=> r ^ 3sintdt + r ^ 2costdr = rsintdt + costdr
=> dr / dt = rsint-r ^ 3sint / (r ^ 2cost-cost)
=> dr / dt = (rr ^ 3) tant / (r ^ 2-1), [/ math] que es claramente variable separable DE. 🙂

Answer 7

Realmente no es una respuesta, pero la curva tiene la buena propiedad de que su pendiente es igual a la distancia desde el origen. Si necesita que pase por el origen (estableciendo [matemáticas] c_1 = \ infty [/ matemáticas] en la solución dada por Ricky Kwok, una suposición que también simplifica un poco la forma) comenzará lentamente y luego acelerará bruscamente, mirando muy similar a [matemática] y = x ^ 3 [/ matemática] hasta aproximadamente [matemática] | x | = 1.5 [/ matemática] (como [matemática] y ^ 2 \ ll x ^ 2 [/ matemática] a la izquierda -lado). La solución es extraña, por cierto.

EDITAR: También se puede escribir la ecuación en coordenadas polares [matemáticas] (r, \ phi) [/ matemáticas], pero no se ve mucho mejor: obtengo [matemáticas] \ phi ‘(r) = \ frac {1 } {r} \ tan (r – \ phi), [/ math] en caso de que alguien esté interesado.

Answer 8

Esta pregunta (supongo) es pedir resolver una ecuación diferencial no homogénea de primer orden (DE), para alguna función [matemática] y (x) [/ matemática].

Primero traducimos [matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 = \ frac {dy} {dx} [/ matemáticas] a la forma:

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} + P (x) y = Q (x) [/ matemáticas]

Entonces. [matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 = \ frac {dy} {dx} \ equiv \ frac {dy} {dx} – (y) y = x ^ 2 [/ matemáticas]

Luego, encuentre el factor integrador (supongo que ya conoce los conceptos básicos para resolver ecuaciones diferenciales):

[matemáticas] I (x) = e ^ {\ int P (x) dx} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto I (x) = e ^ {\ int y dx} [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow I (x) = e ^ {yx} [/ math]

Ahora use la solución general para una ecuación diferencial no homogénea de primer orden:

[matemáticas] y = I (x) ^ {- 1} (\ int (I (x) Q (x)) dx) [/ matemáticas]

Sustituya todos los valores y resuelva la integral indefinida [math] \ int (I (x) Q (x)) dx [/ math] y debería tener su respuesta.

Answer 9

Es una ecuación de Riccati, por lo que puede reducirse a [matemáticas] y ” + xxy = 0 [/ matemáticas]. Pero esta ecuación lineal de segundo orden no puede resolverse más, parece.

Answer 10

Esta es una ecuación de primer orden de Bernoulli que se puede reducir a una ecuación lineal