No es posible dar una definición sensata de [matemáticas] \ delta (x ^ 2) [/ matemáticas], o, al menos, una definición sensata en la que [matemáticas] \ delta (x ^ 2) [/ matemáticas] una distribución (un funcional lineal en el espacio de las funciones de prueba). En particular, no hay forma de definir algo como [matemáticas] \ int _ {- 1} ^ {+ 1} \ delta (x ^ 2) \, \ mathrm {d} x [/ matemáticas] ya que no hay forma de hacerlo un cambio de variables para llegar a algo que solo contiene una [matemática] \ delta (u) [/ matemática] sin función interna: se encuentra con un problema con la inversa de Jacobian como indefinido, como aluden los detalles de la pregunta. Las fuentes con las que me he encontrado ( p. Ej., Aquí) parecen estar de acuerdo en que la composición de una distribución y una función solo se define cuando el diferencial de la función está en todas partes sobrejet.
Quizás, podría atribuir algún significado a [matemáticas] \ int _ {- 1} ^ {+ 1} x ^ 2 \ delta (x ^ 3) \, \ mathrm {d} x [/ math] haciendo un cambio de variables, pero tenga en cuenta que esto no es generalmente aplicable: hemos tenido suerte aquí porque [matemática] x ^ 2 [/ matemática] es un múltiplo de la derivada, y no es necesaria la división por cero. Pero para que [math] \ delta (x ^ 2) [/ math] o [math] \ delta (x ^ 3) [/ math] o [math] \ delta (f (x)) [/ math] a definido como una distribución válida, debe ser posible multiplicarlo por cualquier función uniforme y luego integrarlo en un intervalo cerrado y acotado. No solo funciones particulares como [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas].