Si encontraba este problema en la naturaleza, usaría el método Frobenius. Asume que la respuesta es algunas series de Taylor multiplicadas por un poder de [matemáticas] x [/ matemáticas]. Entonces dejas
[matemática] y_1 (x) = x ^ s \ sum_ {n = 0} ^ \ infty a_n x ^ n [/ matemática] (Asume [matemática] a_0 \ neq0 [/ matemática]). Conectando [matemática] y_1 [/ matemática] nuevamente en su ecuación diferencial, encontrará una ecuación cuadrática que [matemática] s [/ matemática] debe satisfacer. Elija el mayor valor posible para [math] s [/ math] y conéctelo. Debería poder obtener una relación de recursión entre [math] a_n [/ math].
Genial, tienes una solución. En general, tendrás dos. Deje que [math] s ^ \ prime [/ math] sea la segunda opción más pequeña posible para [math] s [/ math].
Según el teorema de Fuchs, la segunda solución será la forma
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[matemáticas] y_2 (x) = Cy_1 (x) \ ln x + x ^ {s ^ \ prime} \ sum_ {n = 0} ^ \ infty b_n x ^ n [/ matemáticas]. Inserte [math] y_2 [/ math] nuevamente en su ecuación diferencial y obtendrá una relación de recursión que determinará las [math] b_n [/ math] s.
A veces, su respuesta será agradable, pero en general no debe esperar una respuesta particularmente agradable, por lo tanto, Wolfram escupe las funciones hipergeométricas y MeijerG como respuesta.