Cómo resolver la ecuación simultánea [matemáticas] X ^ Y + Y ^ X = 17 [/ matemáticas], [matemáticas] X + Y = 5 [/ matemáticas]

Answer 1

En primer lugar, comprenda que no pueden ser números negativos ya que de lo contrario no existirán soluciones enteras.

Ahora, cuando se trata de situaciones como esta, las soluciones son en su mayoría enteros o fracciones triviales, como [matemáticas] 1/2 [/ matemáticas] o [matemáticas] 1/3 [/ matemáticas].

Las únicas opciones (sin ordenar) son (0,5), (1,4), (2,3).

Claramente,

X = 0, Y = 5 no funciona.

X = 1, Y = 4 no funciona.

Pero, X = 2, Y = 3 funciona.

Como las ecuaciones son simétricas, Y = 2, X = 3 también funciona.

Además, estas son las únicas 2 soluciones que existen. Mira el gráfico

Las 2 curvas se cruzan en solo 2 puntos: (2,3) y (3,2).

Por lo tanto, la solución a este conjunto de ecuaciones es:

X = 2, Y = 3 y X = 3, Y = 2.

Answer 2

Al trazar la gráfica de las 2 ecuaciones anteriores en Desmos (X + Y = 5 en verde y la otra en rojo), podemos observar que 2 se cruzan cuando el valor de X es 2 o 3.

De la misma manera cuando X = 3, Y = 2 y los valores son intercambiables debido a la simetría.

El gráfico no se cruza en ningún punto que no sean estos 2 puntos. Entonces la solución de tu pregunta es

X = 2 e Y = 3

O

X = 3 e Y = 2

Answer 3

Intentemos encontrar soluciones enteras. Es obvio que X> 0 e Y> 0 más soluciones enteras no existirán.

Intenta hacer una búsqueda de fuerza bruta usando X + Y = 5

X = 1, Y = 4

No funciona

X = 2, Y = 3

Trabajos.

X = 3, Y = 2 también funcionará ya que X e Y son simétricos.

Encontrar soluciones no integrales a este problema parece bastante difícil y no creo que exista ningún método trivial para hacerlo.

Alon Amit probablemente pueda proporcionar sus ideas 🙂

Answer 4

En general, cada problema matemático se resuelve de dos maneras … práctico y teórico.

La teoría vailds solo se demostró prácticamente.

Lo mismo aquí, no voy a pensar en profundidad … debe obtener dos factores de 5, es decir (1,4), (2,3).

Puede notar que en ambas ecuaciones tienen dos términos y eso se suma, no se necesitan números negativos, entonces solo quedan dos soluciones como mencioné anteriormente.

Si intenta manualmente (2,3) poner ambas ecuaciones, las satisface simultáneamente, por lo que esta es la solución.

Answer 5

x, y es entero, por lo que resolver es enumerar el número