La matriz fundamental [math] \ Psi (t) [/ math] es una caracterización de todas las trayectorias posibles que pueden existir cuando la dinámica está dada por la matriz variable [math] A (t) [/ math]. Como en todo. [Math] \ Psi (t) [/ math] captura cualquier trayectoria posible que tenga una dinámica lineal gobernada por la función específica [math] A (t) [/ math].
¿Por qué? [math] \ Psi (t) [/ math] es una matriz que satisface [math] \ dot {\ Psi} (t) = A (t) \ Psi (t) [/ math]. Eso es todo lo que necesita para definir la matriz fundamental, que es [math] \ Psi (t) [/ math]. Imagine que una curva de solución [matemática] x (t) [/ matemática] es la primera columna de [matemática] \ Psi (t) [/ matemática]. Deje que [math] e_1 [/ math] sea el vector con [math] 1 [/ math] como primer elemento y todos los demás elementos a cero. Entonces, [matemáticas] x (t) = \ Psi (t) e_1 [/ matemáticas]. Diferenciando [matemáticas] x (t) [/ matemáticas] obtenemos
[matemáticas] \ dot {x} (t) = \ dot {\ Psi} (t) e_1 = A (t) \ Psi (t) e_1 = A (t) x (t) [/ math]
La intuición se convierte entonces en una de las funciones básicas. Ahora, si desea conocer la evolución desde un solo punto a la vez, puede extraerlo de la matriz fundamental. ¿Cómo? Bueno, eliges la hora de inicio [matemática] t_0 [/ matemática], y eliges el punto [matemática] x_0 [/ matemática]. Hay una trayectoria única que pasa por este momento y este punto, ¿cómo la elegimos?
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Bueno, todas las soluciones posibles se capturan en [math] \ Psi (t) [/ math]. De hecho, [math] \ Psi (t_0) [/ math] contiene lo que sucede con todas las soluciones posibles en [math] t_0 [/ math]. Estamos interesados en la posible solución que pasa por [math] x_0 [/ math]. Entonces, [math] \ Psi (t_0) w = x_0 [/ math], lo que significa que la solución que nos interesa es una combinación lineal de la matriz fundamental con los pesos dados por el vector [math] w [/ math]. [matemáticas] w = (\ Psi (t_0)) ^ {- 1} x_0 [/ matemáticas]. ¿Cómo obtenemos [matemáticas] x (t) [/ matemáticas] de esto? ¿Por qué [math] x (t) = \ Psi (t) w [/ math]? Bueno, ninguna otra combinación lineal de [matemática] \ Psi (t) [/ matemática] pasará por [matemática] x_0 [/ matemática] en el momento [matemática] t_0 [/ matemática], así que hemos terminado.
Otra forma de verlo es que podríamos pedir la solución correspondiente a la condición inicial [matemática] x_1 [/ matemática] en el momento [matemática] 0 [/ matemática], y también [matemática] e_2, e_3… e_n [/ matemáticas]. Entonces podemos combinar todas estas soluciones en una matriz [matemática] n \ veces n [/ matemática]. Como cualquier condición inicial es una combinación lineal de [math] e_1 [/ math] a [math] e_n [/ math], entonces la solución debe ser la misma combinación lineal de las columnas de la matriz que construimos, porque la dinámica es lineal ! Esa matriz que construimos es la matriz fundamental.
Una tercera interpretación es la siguiente. Te digo que [math] x_1 (t) [/ math] es una solución para [math] \ dot {x} (t) = A (t) x (t) [/ math]. En cada momento [math] t ^ * \ in (- \ infty, \ infty) [/ math] la solución para la condición inicial [math] x_1 (t ^ *) [/ math] es exactamente [math] x_1 (t) [/ matemáticas], por construcción. Naturalmente, la solución para la condición inicial [matemática] x_1 (t ^ *) [/ matemática] y el tiempo [matemática] t ‘\ neq t ^ * [/ matemática] no será [matemática] x_1 (t). [ / math] Sin embargo, para la condición inicial [math] cx [/ math] [math] _1 (t ^ *) [/ math], para algún número [math] c [/ math] y tiempo inicial [math] t ^ * [/ math] simplemente por [math] c x_1 (t). [/ math] Lo que esto significa es que la solución x_1 (t) no solo captura lo que sucede con la condición inicial [math] x_1 (t ^ *) [/ math] al comenzar en el tiempo [math] t ^ *, [/ math] pero también lo que le sucede a un espacio lineal de condiciones iniciales. Esta es la clave. Sin embargo, si tomamos una condición inicial que no se puede representar como una versión escalada de [math] x_1 (t ^ *) [/ math], entonces necesitamos una nueva solución. El hecho de que esta nueva condición inicial no sea una versión escalada de [math] x_1 (t ^ *) [/ math] es una forma de decir que estas dos condiciones iniciales son independientes. Hay alguna solución [matemática] x_2 (t) [/ matemática] que pasa por el punto correspondiente a esta nueva condición inicial en el momento [matemática] t ^ *. [/ math] Al repetir este proceso de búsqueda de soluciones que pasan por condiciones iniciales independientes en algunos [math] t ^ *, [/ math] fijos obtenemos soluciones independientes [math] n [/ math]. Al igual que cualquier punto puede expresarse en términos de vectores base independientes [matemática] n [/ matemática], cualquier solución a nuestra ecuación diferencial lineal puede expresarse en términos de las soluciones independientes [matemática] n [/ matemática]. Estas soluciones forman la matriz fundamental.