Históricamente, ¿cómo y por qué se inventó la Transformada de Laplace?

Answer 1

Veo que otras personas ya han dado buenas descripciones de qué es la transformación de Laplace y cómo se usa. Sin embargo, nadie parece haber cubierto completamente la historia real de la transformación, quizás debido a la dificultad de desenterrar información precisa.

Lo primero que debe saber acerca de la transformación de Laplace es que en realidad no fue inventada por Pierre-Simon Laplace. De hecho, el propio Laplace, una persona notoriamente vanidosa y egoísta a pesar de su genio científico, tuvo cuidado de atribuirle a Leonhard Euler la fórmula básica. Euler pasó una cantidad significativa de tiempo a mediados del siglo XVIII trabajando en ecuaciones diferenciales. Una de sus muchas contribuciones notables en este campo fue la idea de transformar una función [matemática] X (x) [/ matemática] en una nueva función [matemática] z [/ matemática] a través de la ecuación

[matemáticas] z = \ int e ^ {ax} X (x) dx [/ matemáticas]

que se ve bastante similar a la transformación moderna de Laplace, solo con una integral indefinida en lugar de una integral definida. En un artículo de 1753 (titulado Methodus aequationes differentiales altiorum graduum integrandi ulterius promota – es bueno que los matemáticos ya no usen latín …), Euler usó métodos basados ​​en esta transformación para dar un método sistemático para resolver ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden. Más adelante en su carrera, aclaró aún más el método e introdujo la forma integral definida.

[matemáticas] y (u) = \ int_a ^ be ^ {K (u) Q (x)} P (x) dx [/ matemáticas]

En particular, esta expresión apareció en 1768 Institutiones Calculi Integralis de Euler, vol. II, donde lo usó para resolver la ecuación

[matemáticas] L \ frac {d ^ 2y} {du ^ 2} + M \ frac {dy} {du} + Ny = U (u) [/ matemáticas]

Si

[matemáticas] U (u) = R (a) e ^ {K (u) Q (a)} [/ matemáticas]

En muchos casos importantes, métodos similares pueden ser fácilmente adaptados y / o invertidos para encontrar soluciones a ecuaciones diferenciales en las formas usadas hoy. Sin embargo, como era típico de él, Euler no desarrolló sus ideas en un marco que fuera lo suficientemente riguroso y general para satisfacer a los matemáticos modernos.

Este trabajo adicional tendría que esperar a Laplace, quien presentó por primera vez la transformación con su nombre en un artículo de 1782 “Mémoire sur les aproximations des formules qui sont fonctions de trés grands nombres”, donde lo utilizó para resolver varias ecuaciones diferenciales y diferenciales. Casi treinta años después, volvió al tema en un tratado sobre probabilidad [1], donde consideró integrales en la forma moderna.

[matemáticas] \ int_0 ^ \ infty f (x) e ^ {- ax} dx [/ matemáticas]

y encontró las transformaciones de varias funciones comunes, a veces utilizando técnicas ingeniosas. Luego utilizó explícitamente el método para resolver la ecuación diferencial parcial

[matemáticas] \ frac {\ partial U} {\ partial r} = 2U + 2 \ mu \ frac {\ partial U} {\ partial \ mu} + \ frac {\ partial ^ 2 U} {\ partial \ mu ^ 2} [/ matemáticas]

Este parece haber sido el primer uso de la transformación de Laplace, tal como se define hoy para resolver un problema matemático específico; en este caso, un problema en la teoría de la probabilidad que tiene que ver con mezclar objetos de diferentes grupos iniciales. Laplace parece haber entendido rápidamente la importancia de su descubrimiento, ya que utilizó transformaciones de Laplace en numerosas ocasiones en su trabajo posterior y generalizó sus integrales para crear transformaciones de Fourier y Mellin también. Entonces, si bien Laplace puede no haber inventado sus transformaciones, ciertamente merece crédito por producir un cuerpo teórico sistemático que fue mucho más allá de lo creado por sus predecesores.

A lo largo del siglo XIX, la teoría continuó desarrollándose a medida que los matemáticos ejercieron todo el poder del análisis complejo. Poco a poco, la teoría de las ecuaciones diferenciales adquirió rigor real. Se asumieron los axiomas, se probaron los teoremas y el espacio de funciones patológicas que desafiaron el análisis finalmente desapareció a la nada. Al mismo tiempo, la comunidad científica general, y los ingenieros que convirtieron sus descubrimientos en invenciones prácticas, se sintieron más cómodos con las ecuaciones diferenciales y los métodos estándar para resolverlos, entre los cuales las transformaciones de Laplace gradualmente asumieron un lugar destacado. Sin embargo, las transformaciones de Laplace no se compilaron en los formularios de los libros de texto cuidadosamente tabulados hasta la obra de Doetsch de 1937 “Theorie und Anwendung der Laplace-Transformation”. Este libro posiblemente marca el final de la historia de las transformaciones de Laplace; Los desarrollos teóricos modernos generalmente provienen del campo del análisis de Fourier, que no nos concierne aquí.

Para obtener más información, le recomiendo que consulte los artículos de Deakin sobre la historia de la transformación de Laplace, en la que esta respuesta se basa en gran medida. [2] [3]

Notas al pie

[1] Oeuvres complètes de Laplace. Tomo 12 / publiées sous les auspices de l’Académie des sciences, par MM. les secrétaires perpétuels

[2] El desarrollo de la transformación de Laplace, 1737–1937

[3] El desarrollo de la Transformada de Laplace, 1737–1937 II. Poincaré a Doetsch, 1880–1937

Answer 2

La transformada de Laplace se utilizó para la probabilidad. Fue fácil determinar cuánto de un número específico ocurre en una curva PDF usando la transformación de Laplace o algo por el estilo, no estoy exactamente seguro de eso.

Sin embargo, ya se descubrieron otros tipos de transformaciones similares a Laplace. Por ejemplo, la transformación Z ya fue descubierta y estaba siendo utilizada por Pierre Simon Laplace con el mismo propósito de probabilidad. Tenía sentido que la transformación de Laplace se inventara porque, aunque la transformación Z era para casos de tiempo discreto, la transformación de Laplace transformaría una función de tiempo continuo. Por lo tanto, fue útil. Entonces, técnicamente, se usó para este caso.

Pero resulta que ambas transformaciones tienen propiedades sorprendentes que permiten a las personas manipular ecuaciones.

Una de esas propiedades es convertir lo que se llama una convolución en multiplicación. Convolucionar toma dos funciones, voltea una función y la desliza de izquierda a derecha y crea una nueva función que calcula el área “debajo de la curva” cubierta por ambas funciones. Como uno podría imaginar, eso es tedioso y francamente molesto para funciones complicadas. Pero las transformaciones de Laplace, las transformadas Z y todas las transformadas de Fourier convierten esa función de convolución en multiplicación en el dominio transformado. Es una propiedad increíble que ayuda a los matemáticos, físicos e ingenieros a simplificar los cálculos que de otra manera serían imposibles o muy difíciles de hacer.

Otra de esas propiedades que hace esto es la relación de diferenciación en el dominio no transformado con la linealidad en el dominio transformado. Los derivados en el dominio no transformado resultan en ecuaciones más fáciles de manipular (consulte las Notas en línea de Pauls: Ecuaciones diferenciales). Tal facilidad nos permite resolver ecuaciones diferenciales que de otra manera, de nuevo, serían tediosas de resolver.

Otra forma en que la transformación de Laplace ayudó fue en el procesamiento de señales. La frecuencia es un tema muy importante en el procesamiento de señales y las comunicaciones. Los ingenieros de comunicaciones necesitan una forma de mostrar básicamente qué frecuencias se están utilizando. Cómo hacemos esto? Tomamos la transformación de la función. Laplace toma funciones continuas y las transforma en un dominio de frecuencia complejo. Permite a los ingenieros ver qué frecuencias ocupa una señal y les permite hacer dispositivos y métodos para cortar las frecuencias no deseadas (filtros electrónicos) para hacer que el sistema que están diseñando sea más eficiente y qué no.

Es un tema muy interesante, que transforma funciones de un dominio a otro.

Answer 3

Permíteme darte algunos conocimientos básicos sobre Laplace Transform, aunque debes aprender por ti mismo. Probablemente necesites usar gamma y la función beta, cálculo integral en el transcurso del curso.

La transformación de Laplace es una transformación integral. Ahora, ¿qué es la transformación integral?

Digamos, si f (x, y) es una función de dos variables, entonces una integral definida de f con respecto a una de las variables conduce a una función de la otra variable. De manera similar, una integral definida como la integración de K (s, t) f (t) transforma una función f de la variable t en una función F de la variable s.
La función K (s, t) en la integración se denomina núcleo de la transformación. La elección K (s, t) = e ^ – st como el núcleo nos da una transformación integral especialmente importante que Laplace encontró para calcular la suma continua de series de potencia de forma discreta.

La transformación de Laplace fue inventada en algún lugar entre 1782-85, pero fue el refinamiento de los conceptos originalmente iniciados por Leonhard Euler en 1744. La transformación de Laplace también ha sufrido una gran cantidad de cambios y ediciones en los próximos 30-40 años.

Cómo se forma:

Solicitud :

La transformación de Laplace es una transformación integral ampliamente utilizada con muchas aplicaciones en física e ingeniería. Le ayudará a resolver la ecuación diferencial de orden superior, que es la aplicación más utilizada de la transformada de Laplace. También evalúa problemas integrales de valor límite, resolución de circuitos, etc., como la transformada de Fourier, la transformada de Laplace se utiliza para resolver ecuaciones diferenciales e integrales . En física e ingeniería, se utiliza para el análisis de sistemas lineales invariantes en el tiempo, como circuitos eléctricos, osciladores armónicos, dispositivos ópticos y sistemas mecánicos que también se utilizan en el procesamiento de señales para acceder al espectro de frecuencia de la señal en consideración. a continuación, cómo resuelve la ecuación de Laplace

Aquí se muestran 2 videos del profesor Arthur Mattuck, MIT de MIT OCW a continuación:

De dónde viene la Transformada de Laplace, Parte 1

De dónde viene la Transformada de Laplace, Parte 2

Para más consulta:

Transformada de Laplace – Wikipedia

Laplace transforma

https://www.math.psu.edu/tseng/c …

Answer 4

De Wikipedia:

La transformación de Laplace lleva el nombre del matemático y astrónomo Pierre-Simon Laplace, quien utilizó una transformación similar (ahora llamada transformación z) en su trabajo sobre la teoría de la probabilidad. El uso generalizado actual de la transformación se produjo poco después de la Segunda Guerra Mundial, aunque Abel, Lerch, Heaviside y Bromwich la habían utilizado en el siglo XIX.
Desde 1744, Leonhard Euler investigó integrales de la forma.
como soluciones de ecuaciones diferenciales, pero no persiguió el asunto muy lejos. [2] Joseph Louis Lagrange era un admirador de Euler y, en su trabajo sobre la integración de funciones de densidad de probabilidad, investigó expresiones de la forma
que algunos historiadores modernos han interpretado dentro de la teoría moderna de la transformación de Laplace. [3] [4] [se necesita aclaración ]
Este tipo de integrales parecen haber atraído la atención de Laplace en 1782, donde estaba siguiendo el espíritu de Euler al usar las integrales mismas como soluciones de ecuaciones. [5] Sin embargo, en 1785, Laplace dio el paso crítico hacia adelante cuando, en lugar de solo buscar una solución en forma de integral, comenzó a aplicar las transformaciones en el sentido que más tarde se haría popular. Usó una integral de la forma:
similar a una transformación de Mellin, para transformar la totalidad de una ecuación de diferencia, con el fin de buscar soluciones de la ecuación transformada. Luego pasó a aplicar la transformación de Laplace de la misma manera y comenzó a obtener algunas de sus propiedades, comenzando a apreciar su poder potencial. [6]
Laplace también reconoció que el método de Joseph Fourier de la serie Fourier para resolver la ecuación de difusión solo podía aplicarse a una región limitada del espacio porque esas soluciones eran periódicas. En 1809, Laplace aplicó su transformación para encontrar soluciones que se difundieran indefinidamente en el espacio. [7]

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Lo sé, lo sé, Quora no mira favorablemente las respuestas de “copiar y pegar”. Pero no pensé que podría resumir y volver a escribir esta información de una manera más sucinta.

Answer 5

Laplace no inventó la Transformada de Laplace. Antes de entrar, inventar es la palabra equivocada. Las invenciones son cosas como bombillas o motores eléctricos. Si Laplace no hubiera descubierto la transformación de Laplace, seguramente alguien más tendría que ver con los inventos que mencioné.

La transformada de Laplace es solo una extensión de la transformada de Fourier. Entonces Fourier es el hombre principal. Se topó con él cuando estudiaba la conducción del calor. La única diferencia entre las transformadas de Fourier y Laplace es que la última extiende la transformación de Fourier a una clase más amplia de señales.

Answer 6

Dada su pregunta en la sección de comentarios: si está familiarizado con Khan Academy, puede consultar la sección de transformación de Laplace. En las páginas de ecuaciones diferenciales puede ver lo que necesita en términos de ecuaciones diferenciales de los temas enumerados.

Answer 7

En Ingeniería Eléctrica lo usamos para hacer que las matemáticas en el dominio de la frecuencia sean mucho más manejables en lugar del dominio del tiempo. Como dijo el otro póster, también se usa para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. ¿Para qué lo estás usando?

Answer 8

Buena pregunta. Además de la noción de que convierte las EDO en ecuaciones algebraicas, no lo sé. ¡Vamos a averiguar!

(Dirígete a Wikipedia, que tiene un extenso artículo que incluye la historia, buscando “Laplace transform” en Google …)

Transformada de Laplace – Wikipedia

Answer 9

Creo que Laplace inventó la transformación como una herramienta para la integración. La solución de las ecuaciones diferenciales siempre ha sido un desafío y un objetivo principal de las Matemáticas. Entonces, los métodos de integración siempre están en demanda.
He dejado la investigación hace bastante años, pero creo que en cualquier momento dado, al menos el 10% de los investigadores en matemáticas están trabajando para resolver integrales.
La parte ‘cómo’ de la respuesta es desconocida para mí, pero es la forma en que trabaja un científico visionario en particular. ¡Estilo único y nuevo enfoque!