Su concepto de límite es, si perdona un juego de palabras, un poco limitante.
El concepto clave es la aproximación sucesiva . Si, por ejemplo, desea conocer el área de una región con lados curvos, primero debe aproximarla con una región superpuesta con lados rectos, pero cortar en muchas rebanadas, cada rebanada con un rectángulo de aproximación diferente.
El proceso limitante en ese ejemplo es que a medida que los cortes se hacen más estrechos, hacen una mejor aproximación del área de la región curva, es decir, hay menos diferencia (superposición o deficiencia).
En condiciones favorables (el límite de la región no es demasiado irregular), la mejor aproximación para cada tamaño de corte converge con el volumen del área a medida que el ancho del corte llega a cero.
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El proceso descrito hasta ahora es la integración . ¿Y qué hay de la diferenciación?
Ahora imagine que tiene una región que se curvó solo en la parte superior y está interesado en describir las características de la parte superior.
Centra la atención en un punto particular x en la parte superior y luego considera los puntos cercanos u. El análisis de características de una curva comienza identificando la pendiente de las líneas tangentes en varios puntos de la curva.
Como recordarán, si (x, f (x)) y (u, f (u)) son puntos en una curva, entonces la pendiente de una línea entre los dos puntos es:
[matemáticas] \ displaystyle N (x, u) = \ frac {f (u) -f (x)} {ux} [/ matemáticas]
Ahora, si la curva no es demasiado irregular (lo suficientemente suave), entonces si u está confinado a una pequeña región cerca de x, y este valor puede estabilizarse en un solo valor. Tenga en cuenta que no se necesita una curva muy extraña para que esto sea imposible: cualquier curva que tenga una esquina afilada.
Sin embargo, si este valor se estabiliza en el límite cuando u se acerca a x , entonces ese valor límite es [matemática] f ‘(x) [/ matemática].
Finalmente, el tejido de conexión de los dos temas:
Suponga que f (x) es una función continua para x \ ge 0 y deje que F (x) sea el área de la región debajo del gráfico de función en la región [0, x].
Entonces las dos funciones están relacionadas
- [matemáticas] F (x) [/ matemáticas] tiene una derivada
- [matemáticas] F ‘(x) = f (x) [/ matemáticas] (el teorema fundamental del cálculo)
Tenga en cuenta que apenas he usado ningún símbolo de cálculo y, en particular, ni un solo signo de integración.