Un ODE lineal no homogéneo de segundo orden, con coeficientes constantes tiene la forma,
[matemáticas] Y (t) ^ {”} + aY (t) ^ {‘} + bY (t) = R (t), [/ matemáticas]
Si [math] R (t) = 0 [/ math], entonces tenemos una ecuación homogénea, que posee la siguiente forma
[matemáticas] Y (t) ^ {”} + aY (t) ^ {‘} + bY (t) = 0 [/ matemáticas]
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Ahora supongamos que tenemos dos soluciones particulares para la ecuación no homogénea, y denotemos las soluciones como,
[matemáticas] y_ {p1}, y_ {p2}, [/ matemáticas]
Y vamos a sustituir la diferencia de estas dos soluciones particulares de la ecuación no homogénea en la homogénea, por lo tanto tenemos lo siguiente
[matemáticas] (y_ {p1} – y_ {p2}) ^ {”} + a (y_ {p1} – y_ {p2} ^ {‘}) + b (y_ {p1} – y_ {p2}) = [/matemáticas]
[matemáticas] y_ {p1} ^ {”} – y_ {p2} ^ {”} + ay_ {p1} ^ {‘} – ay_ {p2} ^ {‘} + by_ {p1} – by_ {p2} = [/ matemáticas]
[matemáticas] (y_ {p1} ^ {”} + ay_ {p1} ^ {‘} + by_ {p1}) – (y_ {p2} ^ {‘ ‘} + ay_ {p2} ^ {‘} + by_ {p2}) = [/ matemáticas]
[matemáticas] y_ {p1} – y_ {p2} = 0 [/ matemáticas]
Sin embargo, el ODE homogéneo ya tiene una solución, llamemos a esta solución la solución complementaria. Podemos concluir, al sustituir la diferencia de las soluciones particulares en la EDO homogénea, que la diferencia de estas soluciones también es una solución de dicha ecuación. Por lo tanto, hay una solución particular distinta para la EDO no homogénea, que cuando se agrega a la solución complementaria [la solución de la EDO homogénea] nos dará la solución general a la EDO no homogénea lineal de segundo orden. Donde la forma de esta respuesta será la siguiente,
[matemáticas] y = y_p + y_c, [/ matemáticas]
Donde [math] y_p [/ math] denota la solución particular y [math] y_c [/ math] denota la solución complementaria.