¿Cuál es la solución de la ecuación diferencial [matemáticas] \ displaystyle {(\ frac {dy} {dx}) ^ 2} + 4y \ frac {dy} {dx} \ tan {x} + 4y ^ 2 \ sec ^ 2 {x} = \ cos ^ 6 {x} + 4y ^ 2 [/ matemáticas]?

Answer 1

Qué ecuación de aspecto horrible. Esto puede tomar algún tiempo para resolver …

Después de reflexionar un rato, me di cuenta de que esto es bastante más simple de lo que parece. Solo necesitamos reorganizarlo. Aquí va:

Empezamos con

[matemáticas] {(\ frac {dy} {dx}) ^ 2} + 4y \ frac {dy} {dx} \ tan {x} + 4y ^ 2 \ sec ^ 2 {x} = \ cos ^ 6 {x } + 4y ^ 2 [/ matemáticas]

Restemos las [matemáticas] 4y ^ 2 [/ matemáticas], dándonos

[matemáticas] {(\ frac {dy} {dx}) ^ 2} + 4y \ frac {dy} {dx} \ tan {x} + 4y ^ 2 \ sec ^ 2 {x} -4y ^ 2 = \ cos ^ 6 {x} [/ matemáticas]

Ahora factorizando

[matemáticas] {(\ frac {dy} {dx}) ^ 2} + 4y \ frac {dy} {dx} \ tan {x} + 4y ^ 2 (\ sec ^ 2 {x} -1) = \ cos ^ 6 {x} [/ matemáticas]

Ahora recordando nuestras identidades trigonométricas esto se convierte

[matemáticas] {(\ frac {dy} {dx}) ^ 2} + 4y \ frac {dy} {dx} \ tan {x} + 4y ^ 2 \ tan ^ 2 {x} = \ cos ^ 6 {x }[/matemáticas]

El siguiente paso es multiplicar por [matemáticas] \ cos ^ 2 {x} [/ matemáticas]

[matemáticas] {\ cos ^ 2 {x} (\ frac {dy} {dx}) ^ 2} + 4y \ frac {dy} {dx} \ sin {x} \ cos {x} + 4y ^ 2 \ sin ^ 2 {x} = \ cos ^ 8 {x} [/ matemáticas]

No es tan obvio detectar el siguiente paso, pero tenga en cuenta que el LHS se factoriza perfectamente.

[matemáticas] (\ frac {dy} {dx} \ cos {x} + 2y \ sin {x}) ^ 2 = (\ cos ^ 4 {x}) ^ 2 [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que aquí solo me enfocaré en la raíz cuadrada positiva de cada lado. El siguiente método se aplicará también a los valores negativos.

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} \ cos {x} + 2y \ sin {x} = \ cos ^ 4 {x} [/ matemáticas]

Dividiendo a través de [math] \ cos {x} [/ math]

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} + 2y \ tan {x} = \ cos ^ 3 {x} [/ matemáticas]

Ahora resolvemos usando un factor integrador. Aquí está

[matemáticas] e ^ {\ int {2 \ tan {x} dx}} [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ {2 \ ln {\ sec {x}}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ seg ^ 2 {x} [/ matemáticas]

Ahora multiplicando por este factor integrador obtenemos

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} \ sec ^ 2 {x} + 2y \ sec ^ 2 {x} \ tan {x} = \ sec ^ 2 {x} \ cos ^ 3 {x} [/ matemáticas ]

[matemáticas] \ frac {d} {dx} (y \ sec ^ 2 {x}) = \ cos {x} [/ matemáticas]

Finalmente terminamos con

[matemáticas] y = \ cos ^ 2 {x} (\ sin {x} + C) [/ matemáticas]

Uf. Eso fue agotador. Esta solución puede verificarse sustituyéndola nuevamente en la ecuación diferencial original.

Gracias por el A2A!

Answer 2

Escriba [math] \ sec ^ 2 (x) = 1 + \ tan ^ 2 (x) [/ math] para obtener:

[matemáticas] (\ frac {dy} {dx}) + 2y \ tan (x)) ^ 2 = \ cos ^ 6 (x) [/ matemáticas]

Esto da (tomando el signo positivo, también puede tomar el signo negativo; hay 2 soluciones):

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} + 2 \ tan (x) y = \ cos ^ 3 (x) [/ matemáticas]

Esta es una simple ecuación diferencial lineal ordinaria 1D que se resolverá utilizando la técnica del factor de integración.

Algunos enlaces para ayudarlo a llegar a la solución final:

Ecuaciones diferenciales – Ecuaciones lineales

http://www.mathcentre.ac.uk/reso …

Answer 3

[matemáticas] (\ dfrac {dy} {dx}) ^ 2 + 4y \ tan x \ dfrac {dy} {dx} + 4y ^ 2 \ tan ^ 2x + 4y ^ 2 = \ cos ^ 6x + 4y ^ 2 [ /matemáticas]

[matemáticas] (\ dfrac {dy} {dx}) ^ 2 + 4y \ tan x \ dfrac {dy} {dx} + 4y ^ 2 \ tan ^ 2x = \ cos ^ 6x [/ math]

[matemáticas] (\ dfrac {dy} {dx} + 2y \ tan x) ^ 2 = \ cos ^ 6x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} + 2y \ tan x = \ pm \ cos ^ 3x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = – 2y \ tan x \ pm \ cos ^ 3x [/ matemáticas]

dejar u y v ser funciones, y dejar y = uv

[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = v \ dfrac {du} {dx} + u \ dfrac {dv} {dx} [/ matemáticas]

[matemáticas] v \ dfrac {du} {dx} + u \ dfrac {dv} {dx} = – 2uv \ tan x \ pm \ cos ^ 3x [/ matemáticas]

[matemáticas] u \ dfrac {dv} {dx} = – 2uv \ tan xv \ dfrac {du} {dx} \ pm \ cos ^ 3x [/ matemáticas]

[matemáticas] u \ dfrac {dv} {dx} = v (-2u \ tan x- \ dfrac {du} {dx}) \ pm \ cos ^ 3x [/ matemáticas]

let [matemáticas] -2u \ tan x- \ dfrac {du} {dx} = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {du} {dx} = – 2u \ tan x [/ matemáticas]

[matemáticas] – \ dfrac {du} {2u} = \ tan x \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int- \ dfrac {du} {2u} = \ int \ tan x \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] – \ dfrac {1} {2} \ ln u = – \ ln \ cos x + C_1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln u = 2 \ ln \ cos x + 2C_1 [/ matemáticas]

[matemáticas] u = e ^ {2 \ ln \ cos x + 2C_1} [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ {2C_1} = C [/ matemáticas]

[matemáticas] u = Ce ^ {2 \ ln \ cos x} = C \ cos ^ 2x [/ matemáticas]

regresando a la ecuación original

[matemáticas] u \ dfrac {dv} {dx} = \ pm \ cos ^ 3x [/ matemáticas] (ya que [matemáticas] -2u \ tan x- \ dfrac {du} {dx} = 0 [/ matemáticas])

[matemáticas] C \ cos ^ 2x \ dfrac {dv} {dx} = \ pm \ cos ^ 3x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {dv} {dx} = \ pm \ dfrac {1} {C} \ cos x [/ matemáticas]

[matemáticas] dv = \ pm \ dfrac {1} {C} \ cos x \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int dv = \ int \ pm \ dfrac {1} {C} \ cos x \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] v = \ pm \ dfrac {1} {C} \ sin x [/ matemáticas]

desde [matemáticas] y = uv [/ matemáticas], [matemáticas] u = C \ cos ^ 2x [/ matemáticas] y [matemáticas] v = \ pm \ dfrac {1} {C} \ sen x, [/ matemáticas ]

[matemáticas] y = C \ cos ^ 2x \ cdot \ pm \ dfrac {1} {C} \ sin x [/ matemáticas]

[matemáticas] y = \ pm \ cos ^ 2x \ sen x [/ matemáticas]

Answer 4

que es la ecuación diferencial lineal de primer orden, especialmente la ecuación diferencial de Bernoulli.

Entonces,