Cómo resolver dy / dx = (y + 1) / (x + y + 1)

Answer 1

[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {y + 1} {x + y + 1} [/ matemáticas]

Dejar,

[matemáticas] k = y + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {dk} {dx} = \ dfrac {dy} {dx} [/ matemáticas]

Entonces,

[matemáticas] \ dfrac {dk} {dx} = \ dfrac {k} {x + k} [/ matemáticas]

Deje, [matemáticas] k = vx [/ matemáticas]

o, [matemáticas] \ dfrac {dk} {dx} = v + x \ dfrac {dv} {dx} [/ matemáticas]

Entonces,

[matemáticas] v + x \ dfrac {dv} {dx} = \ dfrac {vx} {x + vx} [/ matemáticas]

[matemáticas] x \ dfrac {dv} {dx} = \ dfrac {v} {1 + v} – v = – \ dfrac {v ^ 2} {1 + v} [/ math]

[matemáticas] (\ dfrac {1 + v} {v ^ 2}) dv = – \ dfrac {dx} {x} [/ matemáticas]

[matemáticas] (\ dfrac {1} {v ^ 2} + \ dfrac {1} {v}) dv = – \ dfrac {dx} {x} [/ matemáticas]

Integrando ambos lados,

[matemáticas] – \ dfrac {1} {v} + \ ln v = – \ ln x + C [/ matemáticas]

[matemáticas] v = \ dfrac {k} {x} [/ matemáticas]

[matemáticas] – \ dfrac {x} {k} + \ ln (\ dfrac {k} {x}) = – ln x + C [/ matemáticas]

[matemáticas] – \ dfrac {x} {y + 1} + \ ln \ dfrac {y + 1} {x} + ln x = C [/ matemáticas]

Answer 2

[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {y + 1} {x + y + 1} [/ matemáticas]

Deje [math] y + 1 = tx [/ math]

Entonces, [matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = t + x \ dfrac {dt} {dx} [/ matemáticas]

Sustituir de nuevo,

[matemáticas] t + x \ dfrac {dt} {dx} = \ dfrac {tx} {x + tx} [/ matemáticas]

[matemáticas] t + x \ dfrac {dt} {dx} = \ dfrac {t} {1 + t} [/ matemáticas]

[matemáticas] x \ dfrac {dt} {dx} = – \ dfrac {t ^ 2} {1 + t} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {1 + t} {t ^ 2} dt = \ dfrac {-1} {x} dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ dfrac {1} {t ^ 2} + \ dfrac {1} {t} dt = \ displaystyle \ int \ dfrac {-1} {x} dx [/ math]

[matemáticas] \ dfrac {-1} {t} + \ ln | t | = – \ ln | x | + c [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {-1} {t} + \ ln | t | = – \ ln | x | – \ ln (k) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {-1} {t} + \ ln | t | = – \ ln | kx | [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln | kxt | = \ dfrac {1} {t} [/ matemáticas]

[math] \ Large \ boxed {\ ln | k (y + 1) | = \ dfrac {x} {y + 1}} [/ math]

Answer 3

Reescribe en la forma: [matemática] M (x, y) \, dx + N (x, y) \, dy = 0 [/ matemática].
La ecuación es exacta si [matemática] M_y = N_x [/ matemática] y la solución es [matemática] F (x, y) = C [/ matemática],
donde [matemática] F_x = M (x, y) [/ matemática] y [matemática] F_y = N (x, y) [/ matemática].

Si la ecuación no es exacta, podemos encontrar un factor integrador que lo hará exacto:
• si [math] \ frac {M_y-N_x} {N (x, y)} [/ math] es una función de [math] x [/ math] solamente, [math] \ mu = e ^ {\ int \ frac {M_y-N_x} {N (x, y)} \, dx} [/ math],
• si [math] \ frac {N_x-M_y} {M (x, y)} [/ math] es una función de [math] y [/ math] solamente, [math] \ mu = e ^ {\ int \ frac {N_x-M_y} {M (x, y)} \, dy} [/ math].

[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {y + 1} {x + y + 1} \\ [/ matemáticas]

[matemáticas] (x + y + 1) \, dy = (y + 1) \, dx \\ [/ matemáticas]

[matemáticas] (y + 1) \, dx – (x + y + 1) \, dy = 0 \\ [/ matemáticas]

[matemática] M (x, y) = (y + 1) \ Longrightarrow M_y = 1 \\ [/ matemática]

[matemática] N (x, y) = – (x + y + 1) \ Longrightarrow N_x = -1 \\ [/ matemática]

La ecuación no es exacta, por lo que encontramos un factor integrador:

[matemáticas] \ dfrac {N_x-M_y} {M (x, y)} = – \ dfrac {2} {y + 1} \\ [/ matemáticas]

[matemáticas] \ mu = \ displaystyle \ int e ^ {\ int – \ frac {2} {y + 1} \, dy} = e ^ {- 2 \ ln (y + 1)} = \ frac {1} {(y + 1) ^ 2} \\ [/ math]

[matemáticas] \ dfrac {1} {y + 1} \, dx – \ left [\ dfrac {x} {(y + 1) ^ 2} + \ dfrac {1} {y + 1} \ right] dy = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ dfrac {1} {y + 1} \, dx = \ frac {x} {y + 1} + g (y) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ left [- \ frac {x} {(y + 1) ^ 2} – \ frac {1} {y + 1} \ right] dy = \ frac {x} {y + 1 } – \ ln | y + 1 | + h (x) [/ matemáticas]

[matemáticas] F (x, y) = \ dfrac {x} {y + 1} – \ ln | y + 1 | [/ matemáticas]

Solución:

[matemáticas] \ boxed {\ boldsymbol {\ dfrac {x} {y + 1} – \ ln | y + 1 | = C}} [/ matemáticas]

Answer 4

Al preguntarle a su profesor de matemáticas cómo resolverlo