Cómo resolver [matemática] (2x ^ 3- \ sin ^ 2 y) dx + (2x ^ 2y + x \ sin 2y) dy = 0 [/ matemática]

Answer 1

La ecuación dada tiene la forma [matemática] M \ dx \ + \ N \ dy \ = 0 [/ matemática]

[matemáticas] (2x ^ 3 – \ sin ^ 2y) dx \ + \ (2x ^ 2y \ + \ x \ sin 2y) dy \ = 0 \… \ eq (1) [/ matemáticas]

[matemáticas] M \ = \ 2x ^ 3 – \ sin ^ 2y \\ N \ = \ 2x ^ 2y \ + \ x \ sin 2y \ = x (\ 2xy \ + \ \ sin 2y) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {\ partial M} {\ partial y} = \ -2 \ sin y \ cos y \ = \ – \ sin 2y \\ \ dfrac {\ partial N} {\ partial x} = \ 4xy \ + \ \ sin 2y [/ math]

[matemática] \ dfrac {\ parcial M} {\ parcial y} ≠ \ dfrac {\ parcial N} {\ parcial x} [/ matemática]

El DE dado no es exacto. Y para convertirlo en un DE exacto, necesitamos multiplicarlo por un factor integrador.

[matemáticas] \ dfrac {\ partial M} {\ partial y} – \ dfrac {\ partial N} {\ partial x} \ = \ – \ sin 2y \ -4xy \ – \ \ sin 2y \ = \ -4xy \ – \ 2 \ sin 2y [/ matemáticas]

[math] \ dfrac {\ partial M} {\ partial y} – \ dfrac {\ partial N} {\ partial x} \ = \ -2 \ (2xy \ + \ \ sin 2y) [/ math]

[matemáticas] \ dfrac {\ dfrac {\ partial M} {\ partial y} – \ dfrac {\ partial N} {\ partial x}} {N} = \ dfrac {-2 (2xy + \ sin 2y)} { x (2xy + \ sin 2y)} = \ dfrac {-2} {x} [/ math]

El término anterior es en términos de [matemáticas] x [/ matemáticas] solo, por lo que el factor integrador ([matemáticas] IF [/ matemáticas]) es,

[matemáticas] IF = e ^ {\ int \ dfrac {-2} {x} dx} = e ^ {- 2 log x} = \ dfrac {1} {x ^ 2} [/ math]

Multiplicando toda la ecuación (1) por el factor integrante, tenemos

[matemáticas] (2x – \ dfrac {\ sin ^ 2y} {x ^ 2}) dx + (2y + \ dfrac {\ sin 2y} {x}) dy = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] M_1 = 2x – \ dfrac {\ sin ^ 2y} {x ^ 2} \\ N_1 = 2y + \ dfrac {\ sin 2y} {x} [/ math]

[matemáticas] \ dfrac {\ partial M_1} {\ partial y} = – \ dfrac {\ sin 2y} {x ^ 2} \\ \ dfrac {\ partial N_1} {\ partial y} = – \ dfrac {\ sin 2y} {x ^ 2} [/ matemáticas]

[math] \ dfrac {\ partial M_1} {\ partial y} = \ dfrac {\ partial N_1} {\ partial x} [/ math]

Entonces, la solución de un DE exacto de la forma [matemática] M_1 dx \ + \ N_1 dy = 0 [/ matemática] es [matemática] \\ \ displaystyle \ int M_1dx_ {Tratando \ términos \ de \ \\ y \ as \ constante} \ + \ displaystyle \ int N_1dy_ {Considerando \ términos \ \\ independiente \ de \ x} = 0 [/ matemática]

[matemáticas] \ implica \ displaystyle \ int (2x – \ dfrac {\ sin ^ 2y} {x ^ 2}) dx + \ displaystyle \ int 2y dy = 0 [/ math]

[matemáticas] \ implica \ displaystyle \ int 2x \ dx – \ displaystyle \ int \ dfrac {\ sin ^ 2y} {x ^ 2} dx + \ displaystyle \ int 2y dy = 0 [/ math]

[matemática] x ^ 2 \ + \ \ dfrac {\ sin ^ 2y} {x} \ + \ y ^ 2 \ + \ C = 0 [/ matemática] que es la solución requerida de la DE dada

¡Ten un feliz día!

Answer 2

Intentaré.

[matemática] (2x ^ 3 – \ sin ^ 2y) dx + (2x ^ 2 y + x \ sin 2y) dy = 0 [/ matemática]

[matemáticas] 2 x ^ 3 dx – \ sin ^ 2 y dx + 2 x ^ 2y dy + x \ sin 2y dy = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (2x ^ 3 dx + 2 x ^ 2y dy) + (x \ sin 2y dy – \ sin ^ 2y dx) = 0 [/ matemáticas]… (i)

Dejar,

[matemáticas] k = (\ dfrac {\ sin ^ 2y} {x}) [/ matemáticas]

[matemáticas] dk = \ dfrac {xd (\ sin ^ 2y) – \ sin ^ 2y dx} {x ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] dk = \ dfrac {x \ sin 2y dy – \ sin ^ 2y dx} {x ^ 2} [/ matemáticas]

dividiendo la ecuación (i) por [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] (2x dx + 2y dy) + \ dfrac {x \ sen 2y dy – \ sin ^ 2y dx} {x ^ 2} = 0 [/ matemáticas]

Ahora integrando ambos lados.

[matemáticas] \ int 2x dx + \ int 2y dy) + \ int \ dfrac {x \ sin 2y dy – \ sin ^ 2y dx} {x ^ 2} = \ int 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 + \ int dk = C [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 + k = c [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 + \ dfrac {\ sin ^ 2y} {x} = c [/ matemáticas]

Esta es la curva de solución.