¿Cómo encuentro la solución general de [math] y (1+ \ sqrt {x ^ 2y ^ 4 +1}) dx + 2x \, dy = 0 [/ math] ?
Multiplique el DE original por xy :
[matemáticas] xy ^ 2 (1+ \ sqrt {x ^ 2y ^ 4 +1}) dx + 2x ^ 2y \, dy = 0 \ tag {1} [/ matemáticas]
Deje [math] v = xy ^ 2 [/ math], de modo que [math] dv = y ^ 2dx + 2xy \, dy [/ math]. Entonces (1) se convierte
- Cómo hacer ecuaciones diferenciales
- Cómo determinar la solución general para el PDE [matemáticas] \ displaystyle u_ {tt} + u_ {tx} – 2u_ {xx} = t [/ matemáticas]
- ¿Existen ecuaciones integrales (o antidiferenciales) similares a las ecuaciones diferenciales?
- Cómo encontrar la solución general a esta ecuación
- En el mapeo 6-DOF, ¿cuántas ecuaciones resuelves?
[matemáticas] \ begin {align *} x (y ^ 2dx + 2xy \, dy) + xy ^ 2 \ sqrt {x ^ 2y ^ 4 +1} dx & = 0 \\ x \, dv + v \ sqrt {v ^ 2 + 1} dx & = 0 \ end {align *} \ tag * {} [/ math]
Esta ecuación final se reconoce fácilmente como separable:
[matemáticas] \ begin {align *} \ dfrac {dx} {x} & = – \ dfrac {dv} {v \ sqrt {v ^ 2 + 1}} \\ \ ln | x | + C & = \ ln \ izquierda | \ dfrac {\ sqrt {v ^ 2 + 1} +1} {v} \ derecha | & \ text {integrar ambos lados} \\ Kxv & = \ sqrt {v ^ 2 + 1} + 1 & \ text {exponentiate} \\ Kx ^ 2y ^ 2-1 & = \ sqrt {x ^ 2y ^ 4 + 1} & \ text {deshacer la sustitución} \\ K ^ 2x ^ 4y ^ 4-2Kx ^ 2y ^ 2 & = x ^ 2y ^ 4 & \ text {cuadrado y simplificar} \\ y ^ 2 & = \ dfrac {2K} {K ^ 2x ^ 2-1} & \ text {resolver para} y ^ 2 \\\ end {align *} \ tag * {} [/ math]