Por la ecuación de Cauchy Schwartz , supongo que te referías a la desigualdad de Cauchy-Schwarz .
La desigualdad de Cauchy-Schwarz establece que para todas las secuencias de números reales [matemática] a_i [/ matemática] y [matemática] b_i, [/ matemática] tenemos [matemática] \ left (\ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ n a_i ^ 2 \ right) \ left (\ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ n b_i ^ 2 \ right) \ ge \ left (\ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ n a_ib_i \ right) ^ 2. [/ matemática] La igualdad se cumple si y solo si [matemática] a_i = k b_i [/ matemática] para alguna constante [matemática] k \ in \ mathbb {R} ^ +. [/ matemática]
Dado que cada segundo en JEE importa, tratemos de encontrar el valor mínimo de [matemáticas] x ^ 2 + (4-2x) ^ 2. [/ matemáticas] Suponga que esta es una pregunta que se hace en la sección numérica del examen.
De CS Inequality tenemos, [math] \ left (x ^ 2 + (4-2x) ^ 2 \ right) (4 + 1) \ ge (2x + 4-2x) ^ 2 = 4 ^ 2. [/ Math ]
- ¿Cómo funciona el diferencial de un automóvil?
- Cómo resolver [matemáticas] \ dfrac {d ^ 2y} {dx ^ 2} – \ dfrac {2} {x} \ dfrac {dy} {dx} + \ left (1+ \ dfrac {2} {x ^ 2 } \ right) y = xe ^ x [/ math]
- ¿Cómo clasificarías la ecuación diferencial dx / dy = y ^ 2 – 2y ^ 2x y encontrarías la solución general?
- ¿Dónde exactamente tengo que usar las condiciones de contorno cuando quiero resolver una ecuación diferencial por la transformada de Fourier?
- Si d / dx es en sí mismo un operador único, entonces ¿por qué es correcto separar dy y dx de dy / dx mientras se resuelven ecuaciones diferenciales?
Entonces el valor mínimo de [matemáticas] x ^ 2 + (4-2x) ^ 2 [/ matemáticas] es [matemáticas] \ frac {16} {5}. [/ Matemáticas]
Observación : Uno podría resolver este problema utilizando la herramienta de diferenciación, pero perdería mucho tiempo evaluando primero el valor de [math] x [/ math] para el cual la función es el mínimo y luego colocando este valor de [math] x [/ math] de vuelta en la función para evaluar el valor mínimo que se solicita.
Nota: Todavía preferiría el último método, ya que no pensaría en manipular cosas para que se ajuste a la hipótesis de desigualdad de CS.
Pregunta más compleja que la anterior, dado que el siguiente es el problema de la OMI de 1981,
Problema: [matemática] P [/ matemática] es un punto dentro del triángulo [matemática] ABC. [/ Matemática] [matemática] D, E, F [/ matemática] son los pies de las perpendiculares de [matemática] P [/ matemática] a las líneas [matemática] BC, CA, AB [/ matemática] respectivamente. ¿Cuál de las siguientes [matemáticas] P [/ matemáticas] minimiza [matemáticas] \ frac {BC} {PD} + \ frac {CA} {PE} + \ frac {AB} {PF}? [/ Matemáticas]
- [matemáticas] P [/ matemáticas] es el centroide del triángulo [matemáticas] ABC. [/ matemáticas]
- [matemática] P [/ matemática] es el Incentro del triángulo [matemática] ABC. [/ matemática]
- [matemáticas] P [/ matemáticas] es el Circuncentro del triángulo [matemáticas] ABC. [/ matemáticas]
- [matemáticas] P [/ matemáticas] es el ortocentro del triángulo [matemáticas] ABC. [/ matemáticas]
Respuesta: Opción 2.
Solución: Observe que [math] PD.BC + PE.CA + PF.AB [/ math] es el doble del área del triángulo [math] ABC [/ math]. Ahora use CS Inequality con [matemáticas] a_1 ^ 2 = PD.BC, a_2 ^ 2 = PE.CA, a_3 ^ 2 = PF.AB, b_1 ^ 2 = BC / PD, b_2 ^ 2 = CA / PE, [/ matemáticas] y [matemáticas] b_3 ^ 2 = AB / PF. [/ matemáticas]
Obtenemos que [matemáticas] (BC + CA + AB) ^ 2 \ leq (PD.BC + PE.CA + PF.AB) (BC / PD + CA / PE + AB / PF) [/ matemáticas] solo con igualdad if [math] a_i = k b_i [/ math] para alguna constante [math] k \ in \ mathbb {R} ^ + [/ math] es decir, [math] PD = PE = PF. [/ math] Entonces el único la posición mínima para [math] P [/ math] es el Incentro del triángulo [math] ABC. [/ math] [math] \ blacksquare [/ math]
Una desigualdad de Cauchy-Schwarz más general: para el espacio interno del producto de la función de valor complejo integrable al cuadrado, uno tiene: [math] \ left | \ int _ {\ mathbb {R} ^ n} f (x) \ overline {g (x)} \, dx \ right | ^ 2 \ leq \ int _ {\ mathbb {R} ^ n} | f (x) | ^ 2 \, dx \ cdot \ int _ {\ mathbb {R} ^ n} | g (x) | ^ 2 \, dx. [/ math]
Problema: si para una función [matemática] a: [0, \ infty) \ rightarrow \ mathbb {R} [/ math] tenemos [math] \ int_ {0} ^ {\ infty} | a (x) | ^ 2e ^ xdx [/ math] para ser finito, entonces es [math] \ int_ {0} ^ {\ infty} | a (x) | dx [/ math]
- Finito
- Infinito
- Indefinido
- Ninguna
(¡ Ja, no pude encontrar las opciones adecuadas! )
Respuesta: es finito.
Solución: ( Sugerencia ) Elija [matemática] f (x) g (x) = a (x) [/ matemática] y [matemática] f (x) = a (x) e ^ {x / 2} [/ matemática] de la desigualdad general de CS. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]
PD : No afirmo que estos problemas estén en un nivel de JEE, pero seguramente tomaría algún tiempo obtener pruebas alternativas para los problemas mencionados anteriormente si uno no tiene la herramienta Cauchy-Schwarz Inequality .
Para problemas más interesantes visite: Temas de estudio de desigualdades 2 e hilos similares.