La aproximación mental de soluciones a ecuaciones diferenciales es una hazaña muy impresionante. Sin embargo, no me sorprendería que el Dr. Feynman lo descubriera. A los físicos les encantan las expansiones de series de Taylor (y otros tipos de expansiones de series), y trabajan con ellas todo el tiempo. Aun así, es el Dr. Feynman.
Se me ocurren buenos trucos que pueden ayudarte.
Primero, estamos tratando con ecuaciones diferenciales. Es natural trabajar con la función que es su propia derivada (con escalas). Esa es la función propia del operador derivado.
[math] (\ frac {d} {dx} – \ lambda) f = 0 \ Rightarrow f (x) = e ^ {\ lambda x} [/ math]
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Esto es fácil de ver en la expansión de la serie Taylor.
[matemáticas] e ^ x = \ sum_ {j = 0} ^ {\ infty} \ frac {x ^ j} {j!} [/ matemáticas]
Si tomamos una derivada, el primer término constante desaparece, y todos los demás términos se desplazan hacia la izquierda; dejándonos con la serie original.
Si estamos resolviendo ecuaciones diferenciales lineales homogéneas, entonces usamos funciones exponenciales para nuestro espacio de solución.
Como ejemplo
[matemática] y ” + 5y ‘+ 6y = 0 [/ matemática]
[math] \ Rightarrow \ lambda ^ 2 + 5 \ lambda + 6 = 0 [/ math]
[matemáticas] \ Rightarrow (\ lambda + 2) (\ lambda + 3) = 0 [/ matemáticas]
[math] \ Rightarrow \ lambda \ in \ {- 2, -3 \} [/ math]
[math] \ Rightarrow y (x) = C_1 e ^ {- 2x} + C_2 e ^ {- 3x} [/ math]
Con la misma idea, sabes que las funciones propias de la segunda derivada también son exponenciales, pero en particular si tienes valores propios negativos, entonces son [matemáticas] \ cos (x), \ sin (x) [/ matemáticas].
Entonces, cada vez que miras una ecuación diferencial lineal, puedes pensar en cada una de las piezas y qué tipo de función funciona bien con ella.
Si tiene memorizada la expansión de la serie Taylor para cada una de estas funciones especiales, puede truncarlas en un punto de detención apropiado (2 términos distintos de cero suelen ser lo suficientemente buenos para una primera aproximación). Ahora compárelo con una expansión de serie general conectada a la ecuación diferencial.
Como nota, generalmente tengo lápiz y papel cuando pruebo esto.