Tengo problemas para analizar esto, así que lo estoy interpretando como: “¿Por qué las hipérbolas con la ecuación [matemáticas] k = xy [/ matemáticas] (donde [matemáticas] k [/ matemáticas] es una constante) tienen asíntotas cruzadas en [matemáticas] ] (0, 0) [/ matemáticas] “?
Para responder eso, sería útil recordar qué es una asíntota. Informalmente, es una línea (o, en general, una curva más simple) que se aproxima al comportamiento de la curva real en el “largo plazo”. Ahora, eso siempre significa que [matemáticas] x [/ matemáticas] o [matemáticas] y [/ matemáticas] (o ambas) es grande. Para una hipérbola con la ecuación [matemática] xy = k [/ matemática], si [matemática] x [/ matemática] es grande (ya sea positiva o negativa), entonces [matemática] y [/ matemática] es pequeña, o bien [matemática ] xy [/ math] va a ser grande, en lugar de ser igual a [math] k [/ math]. Cuanto mayor sea [matemática] x [/ matemática], menor será [matemática] y [/ matemática]. Entonces, la línea [math] y = 0 [/ math] es una de las asíntotas de la hipérbola. Intercambiar [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] muestra que la línea [matemática] x = 0 [/ matemática] es otra asíntota.
¿Puede alguna otra línea ser una asíntota de esta hipérbola? No. Cada línea no vertical se puede escribir como [matemáticas] y = mx + b [/ matemáticas]. Si [math] m [/ math] es otra cosa que [math] 0 [/ math], entonces, si [math] x [/ math] es grande, entonces [math] y [/ math] también es grande, entonces [matemáticas] xy [/ matemáticas] no puede ser igual a [matemáticas] k [/ matemáticas]. Si [matemática] m = 0 [/ matemática], entonces [matemática] y = b [/ matemática], y si [matemática] x [/ matemática] es grande, entonces [matemática] xy = bx [/ matemática] es grande , a menos que [matemática] y = 0 [/ matemática], entonces [matemática] xy [/ matemática] no puede ser igual a [matemática] k [/ matemática]. Las líneas verticales tienen la ecuación [matemática] y = a [/ matemática], y en ese caso, [matemática] xy = ay [/ matemática] es grande si [matemática] y [/ matemática] es grande, a menos que [matemática] a = 0 [/ matemáticas]. En todos estos casos, la línea no puede ser una aproximación de “largo plazo” a la curva [matemática] xy = k [/ matemática].
Como las únicas asíntotas son [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] y = 0 [/ matemáticas], deben intersectarse en cero.
- ¿Cómo se evalúa [matemática] \ int_ {y = 0} ^ 2 \ int_ {x = 0} ^ 1 | xy | ^ {0.5} \, dx \, dy [/ math]?
- ¿Por qué es lineal la reacción de primer orden?
- ¿Qué superficie diferencial debo usar?
- ¿Cómo integraría [matemáticas] \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ infty} \ int_ {0} ^ {\ infty} \ dfrac {\ sin x \ sin y \ sin (x + y)} {xy (x + y)} \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y [/ math]?
- ¿Cuál es la solución de la ecuación diferencial [matemática] \ left (1 + x ^ 2 \ right) \ dfrac {dy} {dx} -xy (1 + y) = 0 [/ math]?
Ahora, ¿qué pasa si uno quiere que las asíntotas se crucen en otro lugar, digamos en [math] \ left (x_0, y_0 \ right) [/ math]? Entonces, uno puede cambiar la gráfica de la manera apropiada: [matemática] \ left (x – x_0 \ right) \ left (y – y_0 \ right) = k [/ math]. Entonces, si [math] y [/ math] es grande, entonces [math] x – x_0 [/ math] es pequeño, entonces [math] x [/ math] está cerca de [math] x_0 [/ math], y lo mismo ocurre con [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] invertida.
¿Qué sucede si uno quiere que las asíntotas sean otras líneas, digamos [matemáticas] a_1x + b_1y = c_1 [/ matemáticas] y [matemáticas] a_2x + b_2y = c_2 [/ matemáticas]? Eso también es posible. [matemática] \ left (a_1x + b_1y – c_1 \ right) \ left (a_2x + b_2y – c_2 \ right) = k [/ math] tendría estas dos asíntotas, a menos que las dos líneas sean paralelas. En este caso, sin embargo, no es solo [math] k [/ math] lo que determina qué tan “ancha” es la hipérbola (como fue el caso con [math] \ left (x – x_0 \ right) \ left (y – y_0 \ right) = k [/ math]).