Cómo usar la sustitución para ir de y ‘(t) = ky (t) a y (t) = C [matemáticas] e ^ {kt} [/ matemáticas]

Answer 1

Puede que esté haciendo esto más complicado de lo que pretendía ser. La instrucción de “verificar por sustitución” significa verificar la respuesta, no encontrar la respuesta.

Si te digo que la solución de la ecuación [matemáticas] 3x + 5 = 17 [/ matemáticas] es [matemáticas] x = 4 [/ matemáticas], ¿cómo harías para verificar esa afirmación? Bueno, podrías resolver la ecuación tú mismo (no es una tarea particularmente difícil). Pero cuando tenga una posible solución y solo quiera ver si funciona, sustituya la ecuación dada y confirme que es verdadera. En este caso, reemplace x con 4: [matemática] 3 (4) +5 [/ matemática] es igual a 17, entonces [matemática] x = 4 [/ matemática] es realmente la solución. (O más generalmente, una solución, pero en este caso sabemos que tales ecuaciones tienen solo una solución).

Entonces te han dicho que [math] y (t) = Ce ^ {kt} [/ math] es una solución para [math] y ‘(t) = ky (t) [/ math]. Para “verificar por sustitución” simplemente significa que debe … bueno, sustituir:

[matemáticas] y ‘(t) = k \ cdot y (t) \ implica Cke ^ {kt} = k \ cdot Ce ^ {kt} \ \ checkmark \ tag * {} [/ math]

¿Cómo uso la sustitución para ir de y ‘(t) = ky (t) a y (t) = C [matemáticas] e ^ {kt} [/ matemáticas] ?

Answer 2

Hola,

No se confunda es una simple matemática.

Resolvamos paso a paso

[matemáticas] y ‘(t) = ky (t) [/ matemáticas]

[matemáticas] y ‘(t) / y (t) = k [/ matemáticas]

Integrando ambos lados

[matemáticas] ln y (t) = kt + Const [/ matemáticas]

Como en el lado derecho está en formato logerthemic, por lo que supongo constante también en forma logerthemic.

[matemáticas] ln y (t) = kt + ln C [/ matemáticas]

[matemáticas] ln y (t) – ln C = kt [/ matemáticas]

[matemáticas] ln (y (t) / C) = kt [/ matemáticas]

Ahora tomando exponencial en ambos lados

[matemáticas] e ^ [/ matemáticas] (ln [matemáticas] (y (t) / C) [/ matemáticas]) [matemáticas] = e ^ (kt) [/ matemáticas]

Como exp al poder de ln es 1

[matemáticas] y (t) / C = e ^ (kt) [/ matemáticas]

por lo tanto [matemáticas] y (t) = ce ^ (kt) [/ matemáticas]

Espero que tengas.

¡Todo lo mejor!

Answer 3

Sea y (t) = e ^ kt. La derivada de esta función es y ‘= ke ^ kt. Entonces y ‘es igual a k veces la función original de y (t). Por lo tanto, y ‘= k * y (t). La solución general y ‘= Ce ^ kt es una familia de curvas.

Como se permite que C sea igual a k, la ecuación y ‘= ke ^ kt es una solución para las curvas familiares y se puede representar mediante y’ = Ce ^ kt.

Puede ser muy útil desarrollar una “imagen visual” en su mente que sirva como una caja de herramientas para ayudar a predecir el comportamiento de una ecuación diferencial al resolver un problema.

También tenga en cuenta que no todas las ecuaciones diferenciales tienen soluciones directas como esta. Algunos solo tienen soluciones implícitas (y aparece en ambos lados del signo igual). Algunas ecuaciones se resuelven gráficamente, algunas se resuelven numéricamente, algunas no tienen soluciones en el espacio de números reales.

Answer 4

Tenemos,

dy / dt = ky (t)

obtenemos,

dy / y (t) = kdt

integrando ambos lados, (si y (t) es lineal en y)

obtenemos

ln | y | = kt + C

Si y> 0 para todo t,

y = e ^ (kt + C)

y = e ^ (kt) .e ^ C

e ^ C es una constante, sea igual a K.

entonces,

y = K. e ^ (kt)

Answer 5

Cuando dicen “verificar eso”, lo que realmente dicen es mostrar que esta ecuación cumple con los requisitos.

Es cierto que es la única solución general, pero demuestra que es un caldero de pescado completamente diferente.

suponer

[matemáticas] y (t) = C e ^ {kt} [/ matemáticas], entonces puede mostrar fácilmente que

[matemáticas] y ‘(t) = k C e ^ {kt} = ky (t) [/ matemáticas]

que cumple con sus requisitos originales

Answer 6

La cuestión es que su libro de texto es solo parcialmente correcto. Por sustitución, puede mostrar que [math] y (t) = Ce ^ {kt} [/ math] es una solución general a la ecuación, no puede mostrar que es la única.

Primero veamos este negocio de sustitución.

[matemáticas] y (t) = Ce ^ {kt} \ Leftrightarrow y ‘(t) = kCe ^ {kt} Rightarrow y’ (t) = ky (t) [/ math]

Fácil.

Ahora, ¿es este el único conjunto posible de soluciones? No hay forma de estar seguro de esto. Para demostrarlo, debemos mirarlo de otra manera.

[matemáticas] \ begin {align} y ‘(t) = ky (t) & \ Leftrightarrow \ frac {dy} {dt} = ky \\ & \ Leftrightarrow \ frac {dy} {y} = kdt \\ & \ Leftrightarrow \ int \ frac {dy} {y} = \ int kdt \\ & \ Leftrightarrow ln (y) = kt + h \\ & \ Leftrightarrow y = e ^ {kt + h} \\ & \ Leftrightarrow y = e ^ he ^ {kt} \\ & \ Leftrightarrow y = Ce ^ {kt} \ text {setting C = e ^ h} \ end {align} [/ math]

Ahora ha demostrado que [math] y (t) = Ce ^ {kt} [/ math] es la solución general de la ecuación, porque no puede haber otra. La sustitución sola no puede permitirle probar esto. Obviamente, el argumento anterior solo es válido si ya ha demostrado que

[matemáticas] \ frac {d} {dx} e ^ x = e ^ x [/ matemáticas]

Y

[matemáticas] \ ln y = x \ Leftrightarrow e ^ x = y [/ math]

Pero su libro de texto lo asume.

Answer 7

Usando principios fundamentales, en lugar de sustituir, tenemos:

[matemáticas] y ‘(t) = ky (t) \ implica \ frac {dy} {dt} = ky \ implica \ frac {dy} {y} = kdt \ implica d (\ ln y) = d (kt) \ implica \ ln y = kt + k ‘. [/ math] Dado que cualquier número puede expresarse como el logaritmo de un número positivo, podemos escribir [math] k’ = \ ln C [/ math]. Volviendo a la ecuación, tenemos [math] \ ln y = kt + \ ln C [/ math], o [math] \ ln \ frac {y} {C} = kt [/ math] que resulta en [math ] y = Ce ^ {kt} [/ matemáticas].