Hay dos métodos principales (generales) que conozco. Ambos funcionan reduciendo el PDE a uno o más ODE.
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La separación de variables funcionaría para ecuaciones lineales. Esto funciona de la siguiente manera:
Supongamos que tienes tu ecuación; por ejemplo, [math] u_x = u_y [/ math] (los subíndices significan derivadas parciales con esos índices.
- ¿Hay algún detector que pueda diferenciar entre diferentes telas sin dañarlas?
- ¿Cuál es la forma correcta de leer la ecuación diferencial para comprender el mundo real?
- La pérdida L1 no es diferenciable en x = 0, mientras que la pérdida L2 es diferenciable en todas partes. ¿Alguien puede dar una prueba matemática de ello?
- ¿Se puede escribir la ecuación diferencial para la variación de presión en un fluido estático como y medido verticalmente hacia abajo?
- Aprendemos cómo resolver muchos tipos de ecuaciones diferenciales, pero ¿cómo derivamos DE más complejos de sistemas además de las leyes de Newton y Kirchhoff?
Primero, encontraremos un “especial” [matemática] u (x, y) = X (x) Y (y) [/ matemática].
Enchufe: [matemática] X ‘(x) Y (y) = X (x) Y’ (y) [/ matemática]
Divida toda la ecuación entre [matemáticas] u [/ matemáticas] para obtener [matemáticas] X ‘(x) / X (x) = Y’ (y) / Y (y) [/ matemáticas]
Tenga en cuenta que el lado izquierdo no depende de [math] y [/ math], por lo que tampoco lo hace el lado derecho. Del mismo modo, el lado derecho no depende de [matemáticas] x [/ matemáticas], por lo que tampoco lo hace el lado izquierdo. (Recuerde que [math] x [/ math] y [math] y [/ math] son variables independientes). Por lo tanto, ninguno de los lados puede depender de ninguna variable, por lo que ambos deben ser iguales a una constante, [math] \ lambda [/matemáticas].
Por lo tanto, [matemáticas] X ‘(x) = \ lambda X (x) [/ matemáticas] y [matemáticas] Y’ (x) = \ lambda Y (y) [/ matemáticas]. Resolver estas EDO produce la solución [matemáticas] u_ \ lambda (x, y) = e ^ {\ lambda x} e ^ {\ lambda y} [/ matemáticas]
Ahora, tenga en cuenta que las sumas sobre diferentes [matemáticas] \ lambda [/ matemáticas] (/ integrales [matemáticas] d \ lambda [/ matemáticas]) de [matemáticas] u_ \ lambda [/ matemáticas] todavía producen soluciones; de manera más general, las combinaciones lineales aún producen soluciones. Por lo tanto, uno puede escribir algunas soluciones posibles más generales. Para [math] c_ \ lambda [/ math] algunas constantes arbitrarias (para distintas [math] \ lambda [/ math]) y [math] f (\ lambda) [/ math] una función arbitraria (para [math] continua \ lambda [/ math]):
[matemáticas] u (x, y) = \ sum_ \ lambda c_ \ lambda u_ \ lambda (x, y) [/ matemáticas]
[matemáticas] u (x, y) = \ int f (\ lambda) u_ \ lambda (x, y) d \ lambda [/ matemáticas]
Ahora, obviamente, debe ajustarse a los límites y / o condiciones iniciales, etc. Pero esa es una forma bastante general de resolver EDO lineales.
Algunas observaciones generales:
- Esto también funciona para PDEs de segundo orden o superiores, e incluso para algunos PDE de coeficiente no constante de formas apropiadas.
- Puede hacer esto en más variables, pero lo hace de forma iterativa: primero coloque una variable en un lado y las otras variables en el otro lado. Resuelve un lado como una EDO; Por otro lado, tiene un nuevo PDE (alguna expresión es igual a una constante). Intente resolverlo nuevamente [¡ya está separado!] Y vea qué puede hacer con él, etc. – enjuague y repita.
- Trabajar con las condiciones de contorno es la parte difícil, y forma una teoría general en sí misma. A través de esto surgen muchas funciones especiales. Las series de Fourier y los armónicos esféricos son de particular interés. También vale la pena señalar que estas condiciones límite a menudo limitan lo que puede ser su constante; por ejemplo, en series de Fourier con condiciones límite particulares, a menudo solo pueden dar ondas sinusoidales de frecuencia particulares (por lo tanto, deben estar en valores particulares).
- No pretendo que sus ecuaciones tengan soluciones únicas, eso es algo que debe probar por separado. Sin embargo, si su ecuación tiene una solución (para su condición límite), esto ayudará a encontrarla (aunque generalmente como una suma infinita, ¡así que verifique la convergencia!)
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Alternativa: la forma en que aprendí para primer orden es el método de características . De esta manera funciona para PDE lineales y algunas PDE no lineales de primer orden. Tomaré [math] u_t + c (x, t, u) u_x = f (x, t, u) [/ math] como mi ejemplo general.
Es cierto que este ejemplo es ligeramente limitado porque es lineal en las derivadas de primer orden (pero no en la base, función no diferenciada [matemática] u [/ matemática]). Sin embargo, esto es completamente general para tales ecuaciones en dos variables, ya que puede dividir el coeficiente inicial que tenía en [math] u_t [/ math], siempre que no sea idénticamente cero.
La “imagen” será la siguiente. Suponga que [math] u [/ math] es una cantidad medible de [1-d] posición y tiempo, como “concentración de algún químico en una tubería”. Ese será nuestro escenario físico. La distribución inicial será [math] u_0 (x) [/ math]. Luego, procederemos a resolver usando el siguiente método.
Estableceremos una red de “sensores” que inicialmente cubren nuestro espacio. Estos sensores se moverán con el tiempo, de alguna manera (TBD). Supongamos que podemos hacer un seguimiento de la concentración que ve un sensor en particular ( simplemente en función del tiempo) y qué sensor estará en qué momento y en qué momento. Luego, para una posición y tiempo dados, podemos calcular [matemática] u (x, t) [/ matemática] preguntando primero qué sensor está en la posición [matemática] x [/ matemática] en el momento [matemática] t [/ matemática ], luego pregunta qué valor de [math] u [/ math] ve ese sensor en ese momento.
[Descargo de responsabilidad: sugeriría leer esto, luego leer el ejemplo, luego volver y volver a leer la teoría general una vez que tenga una idea de ello, o encontrar otra fuente, dependiendo, porque es un método bastante complicado, por eso es bastante poderoso]
Ahora, para resolver esa ecuación. Considere una función [matemática] x (t) [/ matemática] (que será la posición de un solo sensor) tal que [matemática] x ‘(t) = c (x (t), t, u (x (t ), t)) [/ math], para [math] u [/ math] la solución que estamos buscando. ¿Qué sucede cuando conectamos [math] u (x (t), t) [/ math] en la expresión? Bueno, derivamos:
[matemáticas] u_t (x (t), t) + x ‘(t) u_x (x (t), t) = f (x, t, u (x (t), t)) [/ matemáticas]
Tenga en cuenta que el lado izquierdo es en realidad la derivada total de [math] u [/ math] (usando la regla de la cadena), por lo que ahora puede escribir un sistema de EDO:
[matemáticas] \ frac {du (x (t), t)} {dt} = f (x, t, u (x (t), t) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {dx} {dt} = c (x (t), t, u (x (t), t)) [/ matemáticas]
Así que ahora tenemos dos EDO que resuelven para [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] u [/ matemáticas] como funciones de [matemáticas] t [/ matemáticas], dadas las condiciones iniciales [matemáticas] x_i [/ matemáticas] y [matemáticas] u_i [/ matemáticas].
Recuerde que tenemos una condición inicial [math] u_0 (x) [/ math] tal que [math] u (x, 0) = u_0 (x) [/ math]. Entonces, tenemos [math] u_i = u_0 (x_i) [/ math] para nuestras condiciones iniciales.
Ahora, consideremos lo que hemos hecho hasta ahora. Suponemos que tenemos un “sensor” ubicado en un punto particular en cualquier momento particular, que traza la ruta [matemática] x (t) [/ matemática]. Entonces, si mide [matemática] u [/ matemática], medirá [matemática] u (x (t), t) [/ matemática] – ¡para lo cual ahora tenemos un sistema de EDO con una condición inicial para! Por lo tanto, hemos reducido nuestra PDE a un sistema de EDO, “mucho más simple” (aunque sigue siendo un problema difícil).
Ahora me especializaré, por conveniencia (ya que las EDO generales son difíciles), para el caso en que estas ecuaciones se desacoplan: [matemática] c [/ matemática] es solo una función de [matemática] x [/ matemática] y [matemática] t [/ math] y [math] f [/ math] es solo una función de [math] u [/ math] y [matemáticas] t [/ matemáticas]. (Esto es para que pueda lidiar con las EDO por separado).
Luego, considerando la ecuación diferencial [matemática] x [/ matemática], podemos encontrar [matemática] x (t) = x (t; x_i) [/ matemática] (la solución a la ecuación diferencial, dependiendo de la posición inicial) . Esto pregunta: “Si un sensor comienza en [matemáticas] x_i [/ matemáticas], ¿dónde termina en el tiempo [matemáticas] t [/ matemáticas]?
Ahora, ¿qué pasa si invertimos esto? Supongamos que podemos encontrar [matemáticas] x_i (x (t); t) [/ matemáticas], la condición inicial depende de la posición y el tiempo, invirtiendo la ecuación anterior. Por lo tanto, esto pregunta: “si un sensor está en la posición [matemática] x (t) [/ matemática] en el momento [matemática] t [/ matemática], ¿cuál fue su posición inicial [matemática] x_i [/ matemática]?” pretendemos por el argumento podemos encontrar eso.
Supongamos también que tenemos [math] u (t; u_i) [/ math] de la primera EDO del par (donde, recuerde, [math] u_i = u_0 (x_i) [/ math]). Ahora, tenemos una serie de expresiones cada vez más complicadas que nos dan una respuesta al final:
[matemáticas] u (x, t) = u (x (t), t) = u (t; u_i) = u (t; u_0 (x_i)) = u (t; u_0 (x_i (x; t)) )[/matemáticas]
¡Ahí! Tenemos nuestra respuesta en términos de [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] t [/ matemáticas] ahora.
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Permítanme considerar un ejemplo concreto para resolver por el método de las características. Deje [math] c = x [/ math] y [math] f = 0 [/ math]. Ahora, nuestro PDE es:
[matemáticas] u_t + xu_x = 0 [/ matemáticas]
Ahora, queremos que [math] dx / dt = x [/ math]; es decir, dar [matemáticas] x (t) = x_i \ exp (t) [/ matemáticas]. Por lo tanto, nuestro “sensor” se moverá exponencialmente hacia afuera desde el origen.
También sabemos que [math] du / dt = 0 [/ math]; es decir, el sensor observa un valor constante. Por lo tanto, [math] u (t; u_i) = u_i [/ math] (el [math] u [/ math] será el mismo que su valor inicial, según el sensor).
Invertir: [matemáticas] x_i = x (t) \ exp (-t) [/ matemáticas]. Así:
[matemáticas] u (x, t) = u (x (t), t) = u (t; u_i) = u_i = u_0 (x_i) = u_0 (x \ exp (-t)) [/ math]
¡Hurra, resolvimos nuestro problema de muestra en términos de la condición inicial [math] u_0 [/ math]!
Recordemos nuestros pasos: descubrimos cómo se movían los sensores calculando [matemáticas] x (t) [/ matemáticas] y qué estaban midiendo calculando [matemáticas] u (x (t), t) [/ matemáticas]. Para una [matemática] x [/ matemática] y [matemática] t [/ matemática] dada, encontramos dónde comenzó el sensor que terminó allí, calculando [matemática] x_i [/ matemática]. Entonces teníamos toda la información que necesitábamos: para una [matemática] x [/ matemática] determinada, sabíamos su posición inicial y, por lo tanto, sabía qué [matemática] u [/ matemática] mediría más tarde, cuando estaba en la posición [matemáticas] x [/ matemáticas] (aunque ese paso fue trivial, ya que [matemáticas] f = 0 [/ matemáticas]). Este es el procedimiento general [si las dos EDO son independientes, como elegí por simplicidad; si no, entonces tienes que resolverlos simultáneamente, como sea que lo hagas.]
De nuevo, algunas advertencias / extensiones:
- Más variables (espacio) es relativamente fácil: simplemente convierta el derivado [math] x [/ math] en un gradiente. Obtendrá una expresión más complicada (un sistema más grande de EDO), pero es la misma teoría.
- Puede encontrar algunas complicaciones, especialmente para problemas no lineales. A veces, no habrá características en un lugar; a veces, habrá múltiples características (ambas ocurren cuando no puedes invertir para encontrar [math] x_i [/ math], debido a la falta de surjetividad e inyectividad respectivamente). Estos producen las llamadas ondas de rarefacción y ondas de choque , respectivamente. Para comprender esto, debe aprender la teoría de las soluciones débiles. La primera ingenuamente produce no unicidad, por lo que debe imponer condiciones adicionales ( condiciones de entropía ); este último produce discontinuidades, que requieren su propia forma de trabajar con ellas (lo que aparentemente no es, el caso de las ondas de choque interactuantes, generalmente entendidas completamente, ¡es un problema de investigación activa!). Sin embargo, te dejaré que leas sobre esos temas en tu propio tiempo.