Si a = kx, ¿cuál es la relación entre v y t?

Answer 1

* A2A: –

[math] \ star [/ math] Asumiré que [math] \ text {k} [/ math] es una constante .

[matemáticas] \ implica a = \ text {k} x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x ” (t) = \ text {k} x (t) \ qquad \ left [\ porque a = x ” (t) \ right] [/ math]

[matemáticas] \ implica x ” (t) – \ text {k} x (t) = 0 [/ matemáticas]

[matemática] \ estrella [/ matemática] Ahora esta es una ecuación diferencial homogénea lineal de segundo orden con coeficientes constantes . Su ecuación característica será: –

[matemáticas] \ implica \ lambda ^ 2- \ text {k} = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ lambda = \ pm \ sqrt {\ text {k}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ estrella [/ matemáticas] Por lo tanto, la solución general se dará como: –

[matemáticas] \ implica x (t) = \ text {A} e ^ {t \ sqrt {\ text {k}}} + \ text {B} e ^ {- t \ sqrt {\ text {k}}} [/matemáticas]

[math] \ star [/ math] Ahora para encontrar los valores de [math] \ text {A & B} [/ math] usaremos las condiciones proporcionadas que son [math] x \ left (t = 0 \ right) = 0 \ quad \ text {&} \ quad v \ left (t = 0 \ right) = u [/ math]: –

[matemática] \ implica x (0) = \ text {A} + \ text {B} = 0 \ quad \ ldots (1) [/ math]

[matemáticas] \ implica v (t) = x ‘(t) = \ text {A} \ sqrt {\ text {k}} e ^ {t \ sqrt {\ text {k}}} – \ text {B} \ sqrt {\ text {k}} e ^ {- t \ sqrt {\ text {k}}} [/ math]

[matemáticas] \ implica v (0) = \ text {A} \ sqrt {\ text {k}} – \ text {B} \ sqrt {\ text {k}} = u \ quad \ ldots (2) [/ matemáticas]

[math] \ star [/ math] Resolviendo [math] (1) \ text {&} (2) [/ math]: –

[matemáticas] \ implica \ text {A} = \ dfrac {u} {2 \ sqrt {\ text {k}}} \ quad \ text {&} \ quad \ text {B} = – \ dfrac {u} { 2 \ sqrt {\ text {k}}} [/ math]

[matemáticas] \ estrella [/ matemáticas] Entonces, nuestra relación [matemáticas] v (t) [/ matemáticas] será: –

[matemáticas] \ implica \ boxed {v (t) = \ dfrac {u} {2} \ left (e ^ {t \ sqrt {\ text {k}}} + e ^ {- t \ sqrt {\ text { k}}} \ right)} [/ math]

---

[math] \ bigstar [/ math] Nota interesante: Sea [math] k \ lt0 [/ math], entonces podemos escribir [math] k = – \ omega ^ 2 \ left (\ omega \ in \ mathbb {R} \ derecha) [/ matemáticas] y por lo tanto tendremos: –

[matemáticas] \ implica a = – \ omega ^ 2 x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ estrella [/ matemáticas] Ahora, este es un movimiento armónico simple y, por lo tanto, la relación será: –

[math] \ implica \ boxed {v (t) = u \ cos \ omega t} [/ math]

[matemáticas] \ estrella [/ matemáticas] Pero como he derivado para un caso general, veamos si mi relación da el mismo resultado o no: –

[matemáticas] \ implica v (t) = \ dfrac {u} {2} \ left (e ^ {t \ sqrt {\ text {k}}} + e ^ {- t \ sqrt {\ text {k}} } \ right) [/ math]

[matemáticas] \ implica v (t) = \ dfrac {u} {2} \ left (e ^ {t \ sqrt {- \ omega ^ 2}} + e ^ {- t \ sqrt {- \ omega ^ 2} } \ right) [/ math]

[matemáticas] \ implica v (t) = u \ left (\ dfrac {e ^ {i \ omega t} + e ^ {- i \ omega t}} {2} \ right) [/ math]

[math] \ star [/ math] Usando la fórmula de Euler tenemos: –

[math] \ implica \ boxed {v (t) = u \ cos \ omega t} \, \, \, \ large \ checkmark [/ math]

[matemáticas] \ estrella [/ matemáticas] Entonces, nuestra relación es correcta ya que produce los mismos resultados.

Answer 2

Intuitivamente veo que v va al infinito exponencialmente si la aceleración sigue aumentando con la distancia. Pero vamos a verlo.

Comience con la definición de a,

[matemáticas] \ frac {dv} {dt} = a = kx [/ matemáticas]

[matemáticas] dv = kx {dt} [/ matemáticas]

Ahora, si x se conoce como una función de t, entonces simplemente conecte cualquier función de tx e integre ambos lados. Pero creo que en este caso no sabes qué es x en función de t. Entonces, en cambio, multiplicas ambos lados por v, y en el lado derecho expandimos v a [math] \ frac {dx} {dt} [/ math]

[matemáticas] v {dv} = kx {dx} [/ matemáticas]

Ahora los integrandos de ambos lados están en las variables deseadas. Integrando obtenemos,

[matemáticas] v ^ 2 = kx ^ 2 + C [/ matemáticas]

El C aquí se puede determinar a partir de algunas condiciones iniciales, por ejemplo, si v = 0 cuando x = 0, C = 0.

[matemáticas] v = \ sqrt {kx ^ 2 + C} [/ matemáticas]

Ahora escriba v como [math] \ frac {dx} {dt} [/ math], tome el dt al otro lado y lleve la raíz cuadrada en x al denominador del lado izquierdo.

[matemáticas] \ frac {dx} {\ sqrt {kx ^ 2 + C}} = dt [/ matemáticas]

En principio esto es integrable. Pero es feo (acabo de comprobar en Wolfram alpha). Es mejor cambiar las coordenadas de modo que C = 0. En cuyo caso, obtienes un resultado bastante elegante.

[matemáticas] \ frac {dx} {\ sqrt {k} x} = dt [/ matemáticas]

Esto nos da

[matemáticas] ln (x) = \ sqrt {k} t + b [/ matemáticas]

[matemáticas] x = e ^ {\ sqrt {k} t + b} [/ matemáticas]

Diferenciarlo para obtener velocidad, que también será exponencial como se esperaba inicialmente. La constante b puede deducirse nuevamente de las condiciones iniciales.

Answer 3

a = dv / dt = kx

dv = kxdt

Integrar

v = kxt + constante

En t = 0; v = u, tan constante = u

Finalmente

v = kxt + u

Espero no haber cometido ningún error.

Disfrutar.

EDITAR: la respuesta anterior puede ser incorrecta, busque en la sección de comentarios una posible solución.

Thnx por sugerencia Rohan Ganguly y Arnab Debnath

Answer 4

Answer 5

v = exp (t √k)