¿Cómo resuelvo la siguiente ecuación diferencial: [matemáticas] x (1-x ^ 2) {dy \ over dx} + (2x ^ 2-1) y = x ^ 3 [/ matemáticas]

Answer 1

Primero, haremos que sea más fácil trabajar con esta ecuación dividiendo por [matemáticas] x (1-x ^ 2). [/ Matemáticas] Esto nos da

[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} + \ dfrac {(2x ^ 2-1) y} {x (1-x ^ 2)} = \ dfrac {x ^ 2} {1-x ^ 2}. [/matemáticas]

Esto es solo una ecuación diferencial lineal, encontramos. Así usamos un factor integrador

[matemáticas] \ mu (x) = e ^ {\ int \ frac {2x ^ 2-1} {x (1-x ^ 2)} dx}. [/ matemáticas]

Darse cuenta de

[matemáticas] \ begin {align *} (\ mu (x) y) ‘& = \ mu (x) \ dfrac {dy} {dx} + \ mu (x)’ y \\ & = \ mu (x) \ dfrac {dy} {dx} + \ mu (x) \ dfrac {2x ^ 2-1} {x (1-x ^ 2)} y \\ & = \ mu (x) \ dfrac {x ^ 2} {1-x ^ 2}. \ End {align *} [/ math]

Todo lo que necesitamos hacer es encontrar [math] \ mu (x) [/ math] y luego podemos integrar [math] (\ mu (x) y) ‘= \ mu (x) x ^ 3 [/ math].

Darse cuenta de

[matemáticas] \ int \ dfrac {2x ^ 2-1} {x (1-x ^ 2)} dx = \ int \ dfrac {1-2x ^ 2} {x (x-1) (x + 1)} dx. [/ matemáticas]

Usando la descomposición de fracción parcial, encontramos que

[matemáticas] \ dfrac {1-2x ^ 2} {x (x-1) (x + 1)} = \ dfrac {A} {x} + \ dfrac {B} {x-1} + \ dfrac {C } {x + 1}. [/ matemáticas]

Multiplicando por [matemáticas] x (x-1) (x + 1) [/ matemáticas] y estableciendo [matemáticas] x = -1,0,1 [/ matemáticas], encontramos que

[matemáticas] \ dfrac {1-2x ^ 2} {x (x-1) (x + 1)} = – \ dfrac {1} {x} – \ dfrac {1} {2 (x-1)} – \ dfrac {1} {2 (x + 1)}. [/ math]

Ahora podemos integrar este término:

[matemáticas] \ begin {align *} \ int \ left (- \ dfrac {1} {x} – \ dfrac {1} {2 (x-1)} – \ dfrac {1} {2 (x + 1) } \ right) dx & = – \ ln | x | – \ dfrac {1} {2} \ ln | x-1 | – \ dfrac {1} {2} \ ln | x + 1 | \\ & = – \ ln | x | – \ dfrac {1} {2} \ ln | x ^ 2-1 |. \ end {align *} [/ math]

Para ciertos valores de [math] x [/ math] esto es

[matemáticas] – \ ln x- \ dfrac {1} {2} \ ln (1-x ^ 2). [/ matemáticas]

Por lo tanto, tenemos

[matemáticas] \ begin {align *} \ mu (x) & = e ^ \ left [- \ ln x- \ frac {1} {2} \ ln (1-x ^ 2) \ right] = \ dfrac { 1} {e ^ {\ left [\ ln x + \ frac {1} {2} \ ln (1-x ^ 2) \ right]}} \\ & = \ dfrac {1} {xe ^ {\ frac { 1} {2} \ ln (1-x ^ 2)}} = \ dfrac {1} {x \ sqrt {1-x ^ 2}}. \ End {align *} [/ math]

Por lo tanto, tenemos [math] \ mu (x) [/ math]. Ahora, todo lo que queda es un poco de integración, ya que tenemos la ecuación

[matemáticas] \ left (\ dfrac {y} {x \ sqrt {1-x ^ 2}} \ right) ‘= \ dfrac {x ^ 2} {x \ sqrt {1-x ^ 2} (1-x ^ 2)}. [/ Matemáticas]

Integrando da

[matemáticas] \ dfrac {y} {x \ sqrt {1-x ^ 2}} + C_1 = – \ int \ dfrac {x} {\ sqrt {1-x ^ 2} (1-x ^ 2)} dx .[/matemáticas]

Esta es probablemente una sustitución trigonométrica, por lo que dejamos [matemáticas] x = \ sin \ theta. [/ Matemáticas] Entonces obtenemos:

[matemáticas] \ begin {align *} \ int \ dfrac {x} {\ sqrt {1-x ^ 2} (1-x ^ 2)} dx & = \ int \ dfrac {\ sin \ theta} {\ cos \ theta (1- \ sin ^ 2 \ theta)} \ cos \ theta d \ theta \\ & = \ int \ dfrac {\ sin \ theta} {\ cos ^ 2 \ theta} d \ theta. \ end {align * }[/matemáticas]

Ahora podemos sustituir [math] u = \ cos [/ math] [math] \ theta. [/ Math] Esto nos da

[matemáticas] \ int- \ dfrac {\ sin \ theta} {u ^ 2} \ sin \ theta du = – \ int \ dfrac {1} {u ^ 2} du. [/ math]

Pero esto es fácil de evaluar: es simplemente [math] \ dfrac {1} {u} [/ math] (ya que los negativos se cancelan).

Sustituyendo nuevamente encontramos que nuestra integral es

[matemáticas] \ dfrac {1} {\ cos \ theta} = \ sec \ arcsin x. [/ matemáticas]

Si consideramos un triángulo rectángulo con un ángulo agudo [matemático] \ arcsin x [/ matemático], longitud del lado opuesto a este ángulo [matemático] x [/ matemático] e hipotenusa [matemático] 1 [/ matemático], vemos que el lado adyacente a [math] \ arcsin x [/ math] es [math] \ sqrt {1-x ^ 2} [/ math]. Por lo tanto, [math] \ sec \ arcsin x = \ dfrac {1} {\ sqrt {1-x ^ 2}} [/ math].

Por lo tanto, nuestra integral deseada es [math] \ dfrac {1} {\ sqrt {1-x ^ 2}} + C_2. [/ Math]

Recuerda, tenemos

[matemáticas] \ dfrac {y} {x \ sqrt {1-x ^ 2}} + C_1 = – \ int \ dfrac {x} {\ sqrt {1-x ^ 2} (1-x ^ 2)} dx = \ dfrac {1} {\ sqrt {1-x ^ 2}} + C_2. [/ math]

Resolviendo para [math] y [/ math] y dejando que nuestra constante de integración sea [math] C [/ math] encontramos:

[matemáticas] y = x + Cx \ sqrt {1-x ^ 2}. [/ matemáticas]

Answer 2

La ecuación diferencial dada es …

[matemáticas] x (1-x ^ 2) \ dfrac {dy} {dx} + (2x ^ 2–1) y = x ^ 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Rightarrow \ dfrac {dy} {dx} + \ dfrac {2x ^ 2–1} {x (1-x ^ 2)} y = \ dfrac {x ^ 3} {x (1-x ^ 2 )}[/matemáticas]

Ahora comparando esta ecuación con …

[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} + P (x) y = Q (x) [/ matemáticas]

Donde P (x), Q (x) son solo funciones continuas de x.

Obtenemos…

[matemáticas] P (x) = \ dfrac {2x ^ 2–1} {x (1-x ^ 2)} [/ matemáticas]

& [matemáticas] Q (x) = \ dfrac {x ^ 3} {x (1-x ^ 2)} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {x ^ 2} {1-x ^ 2} [/ matemáticas]

Ahora encontramos la función integradora …

[matemáticas] IF = e ^ {\ int \ dfrac {2x ^ 2–1} {x (1-x ^ 2)} dx} [/ matemáticas]

[matemáticas] = e ^ {\ int [\ dfrac {x ^ 2- (1-x ^ 2)} {x (1-x ^ 2)}] dx} [/ matemáticas]

[matemáticas] = e ^ {\ int [\ dfrac {x} {1-x ^ 2} – \ dfrac {1} {x}] dx} [/ matemáticas]

[matemáticas] = e ^ {\ int [- \ dfrac {1} {2} \ dfrac {-2x} {1-x ^ 2} – \ dfrac {1} {x}] dx} [/ matemáticas]

[matemáticas] = e ^ {- \ dfrac {1} {2} \ ln | 1-x ^ 2 | – \ ln | x |} [/ matemáticas]

[matemáticas] = e ^ {- \ ln | x \ sqrt {1-x ^ 2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {x \ sqrt {1-x ^ 2}} [/ matemáticas]

Por lo tanto, las soluciones requeridas son …

[matemáticas] y \ dfrac {1} {x \ sqrt {1-x ^ 2}} = \ int \ dfrac {1} {x \ sqrt {1-x ^ 2}} \ cdot \ dfrac {x ^ 2} {1-x ^ 2} dx [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ int \ dfrac {x} {(1-x ^ 2) ^ {\ dfrac {3} {2}}} dx [/ matemáticas]

[matemáticas] = – \ dfrac {1} {2} \ int \ dfrac {-2x} {(1-x ^ 2) ^ {\ dfrac {3} {2}}} dx [/ matemáticas]

[matemáticas] = – \ dfrac {1} {2} \ dfrac {(1-x ^ 2) ^ {- \ dfrac {3} {2} +1}} {- \ dfrac {3} {2} +1 } + C [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {\ sqrt {1-x ^ 2}} + C [/ matemáticas]

[matemática] \ Rightarrow y = \ dfrac {x \ sqrt {1-x ^ 2}} {\ sqrt {1-x ^ 2}} + C (x \ sqrt {1-x ^ 2}) [/ math]

[math] \ Rightarrow y = x + C (x \ sqrt {1-x ^ 2}) [/ math]

[matemática] Donde ~ ‘C’ ~ siendo ~ constantes ~ arbitrarias. [/ matemática]

Answer 3

[matemáticas] x \ left (1-x ^ {2} \ right) \ dfrac {dy} {dx} + \ left (2x ^ {2} -1 \ right) y = x ^ {3} [/ math]

Dividir entre [matemáticas] x \ izquierda (1-x ^ {2} \ derecha) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} + \ dfrac {2x ^ {2} -1} {x \ left (1-x ^ {2} \ right)} y = \ dfrac {x ^ {2}} {1-x ^ {2}} [/ matemáticas]

Encontrar factor integrador

[matemáticas] \ mu = e ^ {\ displaystyle \ int \ dfrac {2x ^ {2} -1} {x \ left (1-x ^ {2} \ right)} dx} [/ math]
[matemáticas] \ mu = e ^ {- \ dfrac {1} {2} \ displaystyle \ int \ left (\ frac {2} {x} + \ frac {1} {1 + x} – \ frac {1} {1-x} \ right) dx} [/ math]
[matemáticas] \ mu = e ^ {\ displaystyle – \ frac {1} {2} \ left (2 \ ln x + \ ln \ left (1 + x \ right) + \ ln \ left (1-x \ right ) \ right)} [/ math]
[matemáticas] \ mu = e ^ {\ displaystyle – \ frac {1} {2} \ ln \ left (x ^ {2} \ left (1-x ^ {2} \ right) \ right)} [/ math ]
[matemáticas] \ mu = \ dfrac {1} {x \ sqrt {1-x ^ {2}}} [/ matemáticas]

Multiplicar por factor integrador

[matemáticas] \ dfrac {1} {x \ sqrt {1-x ^ {2}}} \ cdot \ dfrac {dy} {dx} + \ dfrac {2x ^ {2} -1} {x ^ {2} \ left (1-x ^ {2} \ right) ^ {\ frac {3} {2}}} \ cdot y = \ dfrac {x} {\ left (1-x ^ {2} \ right) ^ { \ frac {3} {2}}} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ dfrac {d} {dx} \ left (\ dfrac {y} {x \ sqrt {1-x ^ {2}}} \ right) = \ dfrac {x} {\ left (1-x ^ {2} \ right) ^ {\ frac {3} {2}}} [/ math]
[matemáticas] d \ left (\ dfrac {y} {x \ sqrt {1-x ^ {2}}} \ right) = \ dfrac {x} {\ left (1-x ^ {2} \ right) ^ {\ frac {3} {2}}} \: dx [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle \ int d \ left (\ dfrac {y} {x \ sqrt {1-x ^ {2}}} \ right) = \ int \ dfrac {x} {\ left (1-x ^ { 2} \ right) ^ {\ frac {3} {2}}} \: dx [/ math]
[matemáticas] \ dfrac {y} {x \ sqrt {1-x ^ {2}}} = \ dfrac {1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}} + C [/ matemáticas]

[math] \ boxed {\ mathbf {y = x + Cx \ sqrt {1-x ^ {2}}}} [/ math]

Answer 4

[matemáticas] y = uv [/ matemáticas]

[matemáticas] x (1-x ^ 2) \ dfrac {d (uv)} {dx} + (2x ^ 2-1) uv = x ^ 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] x (1-x ^ 2) u \ dfrac {dv} {dx} + x (1-x ^ 2) v \ dfrac {du} {dx} + (2x ^ 2-1) uv = x ^ 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] x (1-x ^ 2) u \ dfrac {dv} {dx} + v (x (1-x ^ 2) \ dfrac {du} {dx} + (2x ^ 2-1) u) = x ^ 3 [/ matemáticas]

let [matemáticas] x (1-x ^ 2) \ dfrac {du} {dx} + (2x ^ 2-1) u = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] x (1-x ^ 2) \ dfrac {du} {dx} = – (2x ^ 2-1) u [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {du} {u} = – \ dfrac {2x ^ 2-1} {x (1-x ^ 2)} \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int \ dfrac {1} {u} \, du = \ int- \ dfrac {2x ^ 2-1} {x (1-x ^ 2)} \, dx [/ math]

[matemáticas] \ ln u = \ int- \ dfrac {2x ^ 2-2 + 1} {x (1-x ^ 2)} \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln u = \ int \ dfrac {2} {x} – \ dfrac {1} {x (1-x ^ 2)} \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln u = 2 \ ln x- \ int \ dfrac {1-x ^ 2 + x ^ 2} {x (1-x ^ 2)} \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln u = 2 \ ln x- \ int \ dfrac {1} {x} + \ dfrac {x} {1-x ^ 2} \, dx [/ math]

[matemáticas] \ ln u = \ ln x- \ int \ dfrac {x} {1-x ^ 2} \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 = t [/ matemáticas]

[matemáticas] 2x \, dx = dt [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln u = \ ln x- \ int \ dfrac {1} {2 (1-t)} \, dt [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln u = \ ln x + \ dfrac {1} {2} \ ln (1-t) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln u = \ ln x + \ ln \ sqrt {1-x ^ 2} + C [/ matemáticas]

[matemáticas] u = e ^ {\ ln x + \ ln \ sqrt {1-x ^ 2} + C} [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ C = c [/ matemáticas]

[matemáticas] u = ce ^ {\ ln x + \ ln \ sqrt {1-x ^ 2}} = cx \ sqrt {1-x ^ 2} [/ matemáticas]

ecuación original:

[matemáticas] x (1-x ^ 2) u \ dfrac {dv} {dx} + v (x (1-x ^ 2) \ dfrac {du} {dx} + (2x ^ 2-1) u) = x ^ 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] x (1-x ^ 2) u \ dfrac {dv} {dx} = x ^ 3 [/ matemáticas] ya que [matemáticas] x (1-x ^ 2) \ dfrac {du} {dx} + ( 2x ^ 2-1) u = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] x (1-x ^ 2) cx \ sqrt {1-x ^ 2} \ dfrac {dv} {dx} = x ^ 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] dv = \ dfrac {x ^ 3} {x ^ 2 (1-x ^ 2) ^ \ dfrac {3} {2}} \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int \, dv = \ int \ dfrac {x} {(1-x ^ 2) ^ \ dfrac {3} {2}} \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] 1-x ^ 2 = s [/ matemáticas]

[matemáticas] -2x \, dx = ds [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int \, dv = – \ int \ dfrac {1} {2s ^ \ dfrac {3} {2}} \, ds [/ math]

[matemáticas] \ int \, dv = \ dfrac {1} {\ sqrt {s}} [/ matemáticas]

[matemáticas] v = \ dfrac {1} {\ sqrt {1-x ^ 2}} + c_2 [/ matemáticas]

[matemáticas] y = uv = cx \ sqrt {1-x ^ 2} (\ dfrac {1} {\ sqrt {1-x ^ 2}} + c_2) [/ matemáticas]

[matemáticas] y = \ dfrac {cx} {\ sqrt {1-x ^ 2}} + c \ cdot c_2x \ sqrt {1-x ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] c \ cdotc_2 = k [/ matemáticas]

[matemáticas] y = \ dfrac {cx} {\ sqrt {1-x ^ 2}} + k \ sqrt {1-x ^ 2} [/ matemáticas]

Answer 5

Lamento no tener tiempo para escribir esto en Latex ahora. Aquí está la respuesta!

(¿y por qué Quora sigue girando mi foto?)

Answer 6