¿Qué son las ecuaciones paramétricas? Educación te da un futuro mejor

La respuesta corta:

Matemáticamente, podemos definir una ecuación paramétrica en una línea como decir que una ecuación paramétrica es simplemente un sinónimo de función , donde permitimos que el dominio y el rango sean multidimensionales. Más informalmente, las ecuaciones paramétricas describen deformar objetos planos de baja dimensión en objetos curvos en un espacio de dimensiones superiores.

Una respuesta más larga, en comparación con algunas otras “ecuaciones” matemáticas:

Podríamos desempolvar nuestras manos y decir que hemos terminado en este punto, pero hablemos sobre el contexto y la situación más específica en la que surgen estas cosas.

Las ecuaciones paramétricas traducen variables de un espacio fácil de describir (como un intervalo [matemático] [a, b] = \ {x: a \ leq x \ leq b \} [/ matemático], rectángulo [matemático] [a, b] \ times [c, d] [/ math], etc.), en conjuntos curvos más complicados, como esferas o toros (forma de rosquilla o rosquilla), usando alguna fórmula. El espacio más simple se llama espacio de parámetros , y las cosas en él se llaman parámetros , y generalmente se denota con letras como [math] t, u, v [/ math], etc. (pero, por supuesto, no está limitado a ese).

Los ejemplos más familiares de ecuaciones paramétricas es establecer [matemática] x = [/ matemática] algo y [matemática] y = [/ matemática] algo (para algo en el plano), y adicionalmente [matemática] z = [/ matemática] algo para algo en el espacio, donde las “cosas” son funciones (fórmulas) del parámetro. Probablemente el ejemplo más famoso, y de hecho la base de toda trigonometría y por qué se hace referencia a trigonometría como “el círculo unitario” es:

[matemáticas] x = \ cos t [/ matemáticas]

[matemáticas] y = \ sin t [/ matemáticas]

para [math] t [/ math] cualquier número real (pero a menudo restringido a [math] [0,2 \ pi] [/ math]). Aquí, [math] x [/ math], la distancia horizontal desde el origen, viene dada por el coseno del parámetro, y [math] y [/ math], la distancia vertical, está dada por el seno del (mismo ) parámetro (aquí, no se les permite variar de forma independiente: una vez que elige un valor particular de [math] t [/ math], debe usar el mismo valor de [math] t [/ math] en ambos [math ] x [/ math] y [math] y [/ math], que le dan un solo punto . A medida que [math] t [/ math] cambia, [math] x [/ math] y [math] y [/ math ] cambia en concierto, usando esas dos fórmulas proporcionadas Otra forma de verlo es que la parametrización deforma [matemática] [0,2 \ pi] [/ matemática] en un círculo, doblando el intervalo en una segunda dimensión.

Las ecuaciones paramétricas son una generalización de la descripción más familiar de formas geométricas mediante gráficos ([math] y = f (x) [/ math] para un gráfico de una función de una variable o [math] z = f (x, y) [/ math] para un gráfico de una función de dos variables). Un gráfico de una variable toma una variable desde un lugar fácil ([matemática] x [/ matemática] en una línea horizontal) a [matemática] (x, y) [/ matemática] en el plano, donde la distancia horizontal desde el origen es [matemática] x [/ matemática], y la distancia vertical es [matemática] y [/ matemática], a la que se le asigna el valor [matemática] f (x) [/ matemática]. (por eso decimos [matemáticas] y = f (x) [/ matemáticas]). En el lenguaje de ecuaciones paramétricas, las gráficas [matemáticas] y = f (x) [/ matemáticas] se ven así:

[matemáticas] x = t [/ matemáticas]

[matemáticas] y = f (t) [/ matemáticas]

donde [math] f [/ math] es la misma función de la que estamos hablando. Solo reexpresamos las cosas en términos del parámetro (que resulta ser exactamente igual a la distancia horizontal desde el origen). Las ecuaciones paramétricas generales 2D de un parámetro simplemente permiten algo nuevo para [math] x = t [/ math].

Del mismo modo, para el espacio 3D, uno tiene una nueva función para [math] z [/ math]. Pero en el espacio 3D, hay disponible otro tipo de ecuación paramétrica, cosas que toman dos parámetros:

[matemáticas] x = f (u, v) [/ matemáticas]

[matemáticas] y = g (u, v) [/ matemáticas]

[matemáticas] z = h (u, v) [/ matemáticas]

Esto describe una deformación de algún subconjunto del plano (conjunto donde [matemática] u [/ matemática] y [matemática] v [/ matemática] puede variar) en una superficie curva en el espacio 3D. El caso especial de un gráfico de una función de dos variables es [matemática] f (u, v) = u [/ matemática], [matemática] g (u, v) = v [/ matemática] y [matemática] h (u, v) [/ math] es la función que uno está tratando de graficar.

Los dos enfoques anteriores toman el espacio más simple y lo colocan en un espacio de dimensiones superiores donde hay más espacio para que las cosas giren y giren. El conjunto complicado resultante (que es la imagen ) es (generalmente) de la misma dimensión que el espacio de parámetros, precisamente porque no se permite que cada coordenada de imagen varíe de forma independiente: solo puede variar con los parámetros.

Otra forma de representar formas geométricas, en contraste con las ecuaciones paramétricas, también es más familiar: la de conjuntos de soluciones a ecuaciones (o simplemente ecuaciones , pero informalmente, muchos no matemáticos se refieren a todo lo que define formas como “ecuaciones” como “ecuaciones paramétricas”) . Los conjuntos de soluciones toman un espacio simple de dimensiones superiores (como todos los 3 espacios [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math]) y restringen las variables (solo permiten ciertos puntos si satisfacen una determinada ecuación). Uno puede pensar que talla algo de mármol de alta dimensión. El círculo se conoce mejor de esta manera por la ecuación [matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 [/ matemáticas]: uno toma el plano y considera solo los puntos [matemáticas] (x, y) [/ matemáticas] que satisfacen la relación dada: la suma de sus cuadrados es igual a alguna otra constante. Del mismo modo, la esfera se conoce al agregar [matemáticas] z ^ 2 [/ matemáticas]: el conjunto de todos los puntos [matemáticas] (x, y, z) [/ matemáticas] que satisfacen [matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = r ^ 2 [/ matemáticas]. Este concepto es, en cierto sentido, dual o complementario a las ecuaciones paramétricas, y existen muchos teoremas matemáticos que utilizan esta complementariedad.

Para obtener visualizaciones más interesantes, muchas de las cuales se realizan utilizando ecuaciones paramétricas (¡junto con explicaciones completas de cómo se hicieron!), Visite mi blog de visualización, Nested Tori.

Por qué son importantes las ecuaciones paramétricas

Las ecuaciones paramétricas (o, de hecho, la geometría de dimensiones superiores) son importantes, porque pueden describir cosas que son mucho más generales que simplemente dibujar imágenes bonitas en el plano o el espacio. Cada sistema imaginable tiene entradas que controlan cómo se comporta, y pone el sistema en un estado, que a veces podemos medir como salida. En muchos casos, representamos estas entradas y salidas como conjuntos de números reales (no tiene que ser así, pero podemos tomar lo que sabemos sobre ecuaciones paramétricas con números reales y comprender sistemas que no usan números reales en ¡una nueva forma! Pienso en el lenguaje, por ejemplo, como parametrizando el mundo con palabras ). En otras palabras, el estado de todo el sistema es de alguna manera una codificación de la entrada, y este estado puede evolucionar con los diferentes cambios en los parámetros.

Para dar un ejemplo más concreto, en muchos casos, el parámetro en un sistema de 1 parámetro (ecuación paramétrica) se considera como tiempo. Entonces, la trayectoria de una pelota de béisbol, por ejemplo, puede describirse como un cambio en las coordenadas [matemáticas] (x, y, z) [/ matemáticas], dependiendo del tiempo, a medida que se desliza por el espacio. Esta es una ecuación paramétrica. De hecho, muchas ecuaciones diferenciales ordinarias especifican implícitamente ecuaciones paramétricas (solo especifican [math] dx / dt [/ math], [math] dy / dt [/ math] y [math] dz / dt [/ math]). Pero el tiempo no es el único parámetro.

Otros sistemas tienen cosas que se pueden controlar directamente y otras cosas que se pueden medir. Por ejemplo, para un ejemplo de química física, un gas ideal, que a menudo se especifica mediante 3 o 4 parámetros, como presión, volumen, temperatura y cantidad. A medida que jugueteamos con algunos parámetros y mantenemos los demás constantes, podemos derivar una multitud de leyes físicas que los gases ideales obedecen. (En realidad, generalmente se describe como una ecuación , como el “tallado de la canica” anterior, [matemáticas] PV = nRT [/ matemáticas]). En las descripciones de nivel superior de la termodinámica, a menudo se describen “ciclos”, que son formas de controlar el gas, llevándolo a través de una ruta (¡parametrizada!) De ciertas presiones y volúmenes, hasta volver al punto de inicio. Uno puede preguntar cosas como si se realizó el trabajo o si se transfirió calor (es el área rodeada por el camino). Este es un ejemplo fascinante donde la geometría se usa para interpretar lo que sucede.

En resumen , las ecuaciones paramétricas son algo así como un héroe desconocido en ciencias y matemáticas: la mayoría de las personas lo ven como algo oscuro y aleatorio que las personas inventaron para jugar, dillydally y dibujar lindos dibujos (o, como podrían ver mis alumnos, torturar) personas). Y cuando aparece en otros lugares, nadie dice realmente que es eso.