¿Puedes hacer un análisis dimensional de la ecuación de Bessel, [matemáticas] x ^ 2 y_ {xx} + x y_ {x} + (x ^ 2 – n ^ 2) y = 0 [/ matemáticas]?

Answer 1

Bueno, simplemente suponga que [matemáticas] x [/ matemáticas] tiene dimensión [x] ey tiene dimensiones [y]. Entonces la dimensión de y [matemática] _x [/ matemática] es [y] / [x] y la dimensión de y [matemática] _ {xx} [/ matemática] es [y] / [x] [matemática] ^ 2 [/matemáticas].

Con esto en mente, el primer término x ^ 2 y [matemáticas] _ {xx} [/ matemáticas] tendrá dimensión [x] ^ 2 [y] / [x] ^ 2 = [y].

El segundo término, x y_x tendrá dimensión [x] [y] / [x] = [y].

El tercer término es un poco más complicado. Comienza con [matemáticas] (x ^ 2 – n ^ 2) [/ matemáticas]. Eso solo tiene sentido si [math] x [/ math] y [math] n [/ math] tienen las mismas dimensiones (o las mismas, o ambas no tienen dimensión). Por lo tanto, podemos deducir que la dimensión del tercer término [x] [matemáticas] ^ 2 [/ matemáticas] [y]

Entonces, en términos de dimensiones, la ecuación de Bessel dice:

[y] + [y] + [x] [matemáticas] ^ 2 [/ matemáticas] [y].

Obviamente, esto solo puede ser cierto si x es adimensional, lo cual es algo esperado ya que n generalmente denota un número: una cantidad adimensional. La dimensión de y es indeterminada.

Si realmente quiere que x tenga una dimensión, todo lo que necesita hacer es reescribir la ecuación de bessel para:

[matemáticas] x ^ 2 y_ {xx} + x y_x + (\ frac {x ^ 2} {a ^ 2} – n) y = 0 [/ matemáticas]

donde [math] a [/ math] es una constante con la misma dimensión que [math] x [/ math].

Answer 2

Solo si usas física en esto. La función de Bessel es de gran importancia en física y aparece en todas partes. De lo contrario, es una función simple que cuando se resuelve con el método frobinos produce números que no tienen dimensión. Solo x determina qué dimensión debería tener en la serie.