¿Cuál es la solución de la ecuación diferencial [matemáticas] \ frac {d ^ 2y} {dx ^ 2} + y = tan ^ 3 x [/ matemáticas] por el método de variación del parámetro?

Answer 1

Este es un problema habitual de trabajo a domicilio para llevar. Para mantenerme al día con el espíritu de Quora, prefiero centrarme más en el método y luego resolver la respuesta particular paso a paso.

Una breve historia del método:

El método fue introducido por primera vez por Leonard Euler y perfeccionado por JL Lagrange. Euler descubrió un método similar mientras trabajaba en la variación de los elementos orbitales de un cuerpo celeste en 1748, mientras estudiaba las perturbaciones mutuas de Júpiter y Saturno. Su método era algo diferente de lo que se presenta hoy, ya que aplicaron el método en caso de perturbación, que es esencialmente no lineal. Ver aquí Variación de parámetros – Wikipedia

Aplicabilidad:

La variación de parámetros es un método general para la solución de ecuaciones diferenciales lineales ordinarias no homogéneas. Dicho esto, primero probamos si encaja en el esquema de ser una ecuación diferencial lineal ordinaria no homogénea.

1. La ecuación es una ecuación diferencial ordinaria porque no implica derivadas parciales y más de una variable independiente.
2. La ecuación es lineal porque puede escribirse como [matemáticas] \ left ({\ frac {{{d ^ 2}}} {{d {x ^ 2}}} + 1} \ right) y = {\ tan ^ 3} x. [/ math] Esa es la forma L y = f .
3. La ecuación no es homogénea porque no tiene la forma L (y) = 0 .

Método de trabajo: el método implica los siguientes pasos:

1. Paso de aplicabilidad para verificar si la ecuación dada es solucionable por este método. Esto implica tres pasos anteriores.
2. Escribiendo la ecuación en la forma Ly = f , simplificación es necesario a veces. En ODE de segundo orden se escribe como [matemáticas] \ frac {{{d ^ 2} y}} {{d {x ^ 2}}} + P \ frac {{dy}} {{dx}} + Qy = R. [/ Math] En resumen [math] y ” + Py ‘+ Qy = R. [/ Math]
3. Primero se intenta una solución para la función complementaria (CF) de la ecuación. Ese es un término elegante para la solución de la ecuación en la forma. [matemáticas] \ frac {{{d ^ 2} y}} {{d {x ^ 2}}} + P \ frac {{dy}} {{dx}} + Qy = 0. [/ matemáticas] o en short [math] y ” + Py ‘+ Qy = 0 [/ math] también conocida como ecuación auxiliar o característica . La solución obtenida se llama CF de la ecuación. Para ODE lineal de segundo orden, el CF tiene la forma: [matemática] y = a \ phi \ left (x \ right) + b \ psi \ left (x \ right). [/ Math] Donde [math] \ phi [/ math] y [math] \ psi [/ math] son ​​funciones de x y [math] a [/ math] y [math] b [/ math] son ​​constantes arbitrarias.
4. Luego, para el método, las constantes [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas] , en CF son reemplazado por [matemáticas] F \ izquierda (x \ derecha) [/ matemáticas] y [matemáticas] G \ izquierda (x \ derecha) [/ matemáticas]. Entonces, ahora la solución asumida es formar la forma [matemáticas] y = F \ left (x \ right) \ phi \ left (x \ right) + G \ left (x \ right) \ psi \ left (x \ right) .[/matemáticas]
5. Luego diferenciamos [matemáticas] y [/ matemáticas] con respecto a [matemáticas] x [/ matemáticas]. Obtenemos [matemáticas] y ‘= F’ \ left (x \ right) \ phi \ left (x \ right) + F \ left (x \ right) \ phi ‘\ left (x \ right) + G’ \ left (x \ right) \ psi \ left (x \ right) + G \ left (x \ right) \ psi ‘\ left (x \ right) [/ math]. Ahora, elegimos [math] F \ left (x \ right) [/ math] y [math] G \ left (x \ right) [/ math] de tal manera que [math] F ‘\ left (x \ right) \ phi \ left (x \ right) + G ‘\ left (x \ right) \ psi \ left (x \ right) = 0. [/ math] Esta es la razón por la cual el método se llama variación de parámetros. Ahora tenemos [math] y ‘= F \ left (x \ right) \ phi’ \ left (x \ right) + G \ left (x \ right) \ psi ‘\ left (x \ right) [/ math]
6. Luego diferenciamos [matemática] y ‘[/ matemática] obtenida del paso 5. nuevamente wrt [matemática] x [/ matemática] y obtenemos [matemática] y’ ‘[/ matemática]. [matemáticas] y ” = F ‘\ left (x \ right) \ phi’ \ left (x \ right) + F \ left (x \ right) \ phi ” \ left (x \ right) + G ‘\ left (x \ right) \ psi ‘\ left (x \ right) + G \ left (x \ right) \ psi’ ‘\ left (x \ right). [/ math]
7. Luego, insertamos y ‘e y’ ‘obtenidas de arriba en [matemáticas] y’ ‘+ Py’ + Qy = R. [/ math] del paso 2. Tenemos [math]. [/ math] Por lo tanto, obtenemos después del reordenamiento, [math] F \ left (x \ right) \ left [{\ phi ” \ left (x \ right ) + P \ phi ‘\ left (x \ right) + Q \ phi \ left (x \ right)} \ right] + G \ left (x \ right) \ left [{\ psi’ ‘\ left (x \ derecha) + P \ psi ‘\ left (x \ right) + Q \ psi \ left (x \ right)} \ right] + F’ \ left (x \ right) \ phi ‘\ left (x \ right) + G ‘\ left (x \ right) \ psi’ \ left (x \ right) = R. [/ math]

NB: Dado que [math] \ phi \ left (x \ right) [/ math] y [math] \ psi \ left (x \ right) [/ math] resuelven independientemente la ecuación auxiliar [math] y ” + Py ‘ + Qy = 0. [/ math] Los términos entre corchetes equivalen a cero. Vea el paso 3. Por lo tanto, nos quedan solo dos términos. [Matemáticas] F ‘\ left (x \ right) \ phi’ \ left (x \ right) + G ‘\ left (x \ right) \ psi’ \ left (x \ right) = R [/ math] [math ].[/matemáticas]

8. Luego, tenemos dos ecuaciones simultáneas lineales con variables independientes [matemática] F ‘(x) [/ matemática] y [matemática] G’ (x) [/ matemática] de los pasos 5 y 7. [matemática] F ‘\ left (x \ right) \ phi \ left (x \ right) + G ‘\ left (x \ right) \ psi \ left (x \ right) = 0 [/ math] y [math] F’ \ left (x \ right) \ phi ‘\ left (x \ right) + G’ \ left (x \ right) \ psi ‘\ left (x \ right) = R. [/ math] Resolviendo la ecuación lineal obtenemos [math] F ‘(x) [/ math] y [math] G’ (x) [/ math] e integrarlos para obtener [math] F \ left (x \ right) [/ math] y [math] G \ left (x \ right) [/ math] obteniendo dos constantes de integración.

Una solución formal a las ecuaciones simultáneas:

[matemáticas] F ‘\ left (x \ right) \ phi \ left (x \ right) + G’ \ left (x \ right) \ psi \ left (x \ right) = 0 —-1. [/ math]

[matemáticas] F ‘\ left (x \ right) \ phi’ \ left (x \ right) + G ‘\ left (x \ right) \ psi’ \ left (x \ right) = R —2. [/ math ]

Multiplicar la ecuación 1. en ambos lados por [math] \ psi ‘\ left (x \ right) [/ math] y eqn. 2 por [math] \ psi \ left (x \ right) [/ math] luego restando eqn. 2 de 1.

[matemáticas] F ‘\ left (x \ right) = \ frac {{- R \ psi \ left (x \ right)}} {{\ left [{\ phi \ left (x \ right) \ psi’ \ left (x \ right) – \ phi ‘\ left (x \ right) \ psi \ left (x \ right)} \ right]}} —- 3 [/ math]

Similar,

[matemáticas] G ‘\ left (x \ right) = \ frac {{R \ phi \ left (x \ right)}} {{\ psi’ \ left (x \ right) \ phi \ left (x \ right) – \ psi \ left (x \ right) \ phi ‘\ left (x \ right)}} —- 4. [/ Math]

Finalmente integramos 3 y 4 para [math] F \ left (x \ right) [/ math] y [math] G \ left (x \ right) [/ math].

Finalmente, llegamos a la solución al enchufarlos en la ecuación [matemáticas] y = \ phi \ left (x \ right) F \ left (x \ right) + \ psi \ left (x \ right) G \ left (x \ derecha). [/ matemáticas]

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Ahora resolviendo este problema particular de tarea:

Paso 1. La ecuación es una ODE lineal de segundo orden. Revisalo.

Paso 2. [matemática] y ” + 0y ‘+ y = {\ tan ^ 3} x. [/ Matemática]

Paso 3. Ecuación auxiliar [matemática] y ” + y = 0. [/ matemática] Resolviendo tenemos, [matemática] y = a \ cos x + b \ sen x. [/ Matemática] Reemplazando constantes arbitrarias [matemática] a [/ math] y [math] b [/ math] con [math] F (x) [/ math] y [math] G (x) [/ math]. Proponemos una solución [matemática] y = F (x) \ cos x + G (x) \ sin x. [/ Matemática]

Paso 4. Diferenciando y wrt x

[matemática] y ‘= F’ (x) \ cos x – F (x) \ sin x + G ‘(x) \ sin x + G (x) \ cos x [/ matemática] eligiendo [matemática] F’ ( x) \ cos x + G ‘(x) \ sin x = 0 [/ math] obtenemos la solución propuesta [math] y = F (x) \ sin x + G (x) \ cos x. [/ math]

Paso 5. Diferenciando y wrt x. obtenemos [math] y ‘= F’ (x) \ cos x – F (x) \ sin x + G ‘(x) \ sin x + G (x) \ cos x, [/ math] eligiendo F y G tal que

[matemáticas] F ‘(x) \ cos x + G’ (x) \ sin x = 0. —–1. [/ matemáticas]

Nos quedamos con

[matemáticas] y ‘= – F (x) \ sen x + G (x) \ cos x. [/ matemáticas]

Paso 6. Diferenciando [matemática] y ‘[/ matemática] nuevamente wrt [matemática] x [/ matemática] y obtenemos [matemática] y’ ‘[/ matemática]

[matemáticas] y ” = – F ‘(x) \ sin x – F (x) \ cos x + G’ (x) \ cos x – G (x) \ sin x [/ matemáticas]

Paso 7. Conectando los valores de [math] y ” [/ math] y [math] y [/ math] en la ecuación del paso 2 y simplificando tenemos

[matemáticas] – F ‘(x) \ sen x + G’ (x) \ cos x = {\ tan ^ 3} x —–2. [/ matemáticas]

Paso 8. Por lo tanto, tenemos dos ecuaciones lineales simultáneas con dos incógnitas [matemáticas] F ‘(x) y G’ (x) [/ matemáticas] de la ecuación. 1 y eqn. 2. [matemáticas] [/ matemáticas]

[matemáticas] \ left ({\ begin {array} {* {20} {c}} {\ cos x} & {\ sin x} \\ {- \ sin x} & {\ cos x} \ end {array }} \ right) \ left (\ begin {array} {l} F ‘(x) \\ G’ (x) \ end {array} \ right) = \ left (\ begin {array} {l} 0 \ \ {\ tan ^ 3} x \ end {array} \ right) [/ math]

Resolviendo, tenemos:

[matemáticas] \ left (\ begin {array} {l} F ‘(x) \\ G’ (x) \ end {array} \ right) = \ left (\ begin {array} {l} – \ sin x {\ tan ^ 3} x \\\ cos x {\ tan ^ 3} x \ end {array} \ right) [/ math]

Ahora podemos ” fácilmente ” obtener F (x) y G (x) mediante la integración.

[matemáticas] F \ left (x \ right) = – \ int {\ sin x {{\ tan} ^ 3} xdx} + {c_1} [/ math]

o, [matemáticas] F (x) = – \ sen x – \ frac {1} {2} \ tan x \ sec x – \ frac {3} {2} \ log \ left ({\ sec x – \ tan x} \ right) + {c_1} [/ math]

[matemáticas] G \ left (x \ right) = \ int {\ cos x {{\ tan} ^ 3} xdx} + {c_2} [/ math]

o, [matemáticas] G (x) = \ cos x + \ sec x + {c_2} [/ matemáticas]

Por lo tanto, la solución es:

[matemáticas] y = F (x) \ cos x + G (x) \ sen x [/ matemáticas]

[matemáticas] y = \ left [{- \ sen x – \ frac {1} {2} \ tan x \ sec x – \ frac {3} {2} \ log \ left ({\ sec x – \ tan x } \ right) + {c_1}} \ right] \ cos x + \ left [{\ cos x + \ sec x + {c_2}} \ right] \ sin x [/ math]

Por algunas simplificaciones trigonométricas básicas, la solución final atractiva es:

[matemáticas] y = {c_1} \ cos x + {c_2} \ sen x + \ frac {1} {2} \ tan x – \ frac {3} {2} \ cos x \ log \ left ({\ sec x – \ tan x} \ right) [/ math]

PD: El paso “fácil” es analíticamente puede ser el más difícil o incluso puede ser imposible para ciertas funciones.