¿Qué significa diferencial parcial y cuáles son sus usos?

Answer 1

Un diferencial es un pequeño cambio en algún valor. Una derivada puede verse como una relación de 2 diferenciales.

Por ejemplo, veamos una función diferenciable

[matemáticas] f (x) = x ^ 3 + 4 [/ matemáticas]

Puedo escribir la derivada como

[matemáticas] \ frac {df} {dx} = 3x ^ 2 [/ matemáticas]

O puedo escribirlo con diferenciales

[matemáticas] df = 3x ^ 2 dx [/ matemáticas]

El formulario con los diferenciales solo pide ser integrado

[matemáticas] \ int df = \ int 3x ^ 2 dx = x ^ 3 + C [/ matemáticas]

Una derivada parcial de una función multivariante es cuando observamos la tasa de cambio instantánea dado que solo estamos variando una de las variables mientras mantenemos constantes las otras.

[matemáticas] f (x, y) = 4x ^ 6 + 2xy ^ 2 + 3y ^ 3 [/ matemáticas]

[matemática] \ frac {\ partial {f}} {\ partial {x}} = 24x ^ 5 + 2y ^ 2 [/ matemática]

[matemática] \ frac {\ partial {f}} {\ partial {y}} = 4xy + 9y ^ 2 [/ matemática]

Del mismo modo, un diferencial parcial es un pequeño cambio en algún valor, dado que estamos cambiando la entrada de una sola manera.

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Una ecuación diferencial parcial describe la dinámica de una función cuando tiene más de un tipo de variable de la que depende. Algunos ejemplos clásicos incluyen

• Ecuación de advección / transporte (1d)
• [math] \ frac {\ partial {u}} {\ partial {t}} = c \ frac {\ partial {u}} {\ partial {x}} [/ math]
• Básicamente, esto empuja su función en una dirección con velocidad [matemática] c [/ matemática].
• Ecuación de Laplace
• [matemáticas] \ nabla ^ 2 u = 0 [/ matemáticas]
• Esto describe el calor, la electrostática y otros sistemas similares en equilibrio.
• Ecuación de calor / difusión
• [math] \ frac {\ partial {u}} {\ partial {t}} = A \ nabla ^ 2 u [/ math]
• Esto muestra cómo el calor, o cualquier otra cosa que se difunde con el tiempo. Las cosas se promedian.
• Ecuación de onda
• [matemática] \ frac {\ parcial ^ 2 {u}} {\ parcial {t} ^ 2} = c ^ 2 \ nabla ^ 2 u [/ matemática]
• Esto describe la propagación de ondas.

Donde [math] \ nabla [/ math] es el vector de todas las derivadas parciales espaciales, y [math] \ nabla ^ 2 [/ math] es el Laplaciano, que es la suma de todas las derivadas parciales del segundo espacio.

Answer 2

Una ecuación diferencial especifica cómo cambia una variable con respecto a otra en términos del valor de la variable posterior: [matemática] \ dot y = f (y) [/ matemática]

Una ecuación diferencial parcial hace esto para múltiples variables simultáneamente.

Por lo general, del mismo modo que se usa un ODE cuando desea estudiar algo que varía con el tiempo, un PDE se usa cuando desea estudiar algo que varía ya sea en el espacio o en el espacio y el tiempo (generalmente, en más de un parámetro). Esto no es exclusivo, pero es la mayor parte del uso de la física.