¿Dónde se aplican / ocurren las ecuaciones diferenciales parciales en la econometría y / o la economía cuantitativa?

Answer 1

¿Dónde no lo hacen?

Un modelo de regresión básico se parece a esto:

[matemáticas] y = \ beta_0 + \ beta_1x_1 + \ beta_2x_2 + \ beta_3x_3 + \ epsilon [/ matemáticas]

En econometría, generalmente nos importan menos los valores pronosticados (de nuestra variable dependiente) que los efectos marginales, o el efecto de un cambio de una unidad * en * algo * en nuestra variable dependiente.

Un efecto marginal no es más que una derivada parcial. Si ejecuto una regresión tratando de explicar el efecto de un aumento en el riesgo (quizás usando algo como el VIX) en el mercado de valores, especificaríamos el primero como [math] x [/ math] y el último como [math] y. [/ math] Lo que estimamos es el efecto de un cambio de una unidad en este [math] x [/ math] en este [math] y [/ math]. Esto es solo [matemáticas] \ beta [/ matemáticas].

Incluso con OLS simples, puede obtener todo tipo de derivadas parciales simplemente especificando diferentes formas funcionales (es decir, diferentes formas de la ecuación en la parte superior de la respuesta). Ver: este ejemplo.

Se utilizan cada vez más a medida que profundiza en la econometría.

Sin mencionar que la derivación del estimador OLS (si no lo está haciendo con álgebra lineal) se realiza con derivadas parciales: vea este ejemplo.

* o tal vez algo así como un porcentaje, pero ese es otro tema

Answer 2

En una palabra, modelado. Estas ecuaciones son herramientas de modelado económico no lineal complejo en un sistema dinámico (no lineal). Los economistas buscan modelar fenómenos económicos al mirar hacia atrás en los eventos macroeconómicos, luego, utilizando un modelo matemático, predicen lo que sucederá cuando las variables independientes cambien en el sistema dinámico en el futuro. Ejemplos son el modelado de empleo, la inflación, ese tipo de cosas, pero también el modelado de una curva de demanda, por ejemplo, dinero. Las ecuaciones diferenciales son simplemente la matemática (herramienta) detrás de este modelo altamente complejo. Estos modelos pueden tener muchas variables independientes, todas las cuales son idealmente completamente “independientes”, pero siempre hay interdependencias / relaciones entre algunas variables supuestamente independientes que deben ser descubiertas y manejadas; entonces los errores de predicción (variaciones) de las variables supuestamente independientes deben tenerse en cuenta y, por supuesto, las relaciones entre las variaciones mismas. Luego, cuando el modelo es realmente bueno para modelar eventos pasados, uno puede intentar predecir los resultados futuros de un sistema dinámico cuando cambia una variable independiente (o alguna), que es la definición de una derivada, que es lo que es una diferencia does – mide los cambios en una variable a lo largo del tiempo o alguna otra función.

Answer 3

El Premio Nobel (sí, sí, el Premio del Banco de Suecia) en Economía fue otorgado a los autores de la ecuación Black-Scholes-Merton (generalmente solo Black-Scholes).

La ecuación de Black-Scholes, y su progenie, es una ecuación diferencial parcial estocástica que describe el precio actual de una opción sobre un activo (por ejemplo, una acción) en algún momento en el futuro.

Ejemplo : hoy, una parte de las acciones vale $ 100. ¿Cuánto debo pagar hoy por el derecho a comprar las acciones dentro de 90 días a $ 110?

Curiosamente, la ecuación básicamente se reduce a la conocida ecuación de calor.