¿Cómo se puede resolver esta ecuación diferencial, [math] \ frac {dv} {dt} = g – kv ^ 2 [/ math]?

Answer 1

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ text {d} v} {\ text {d} t} = g-kv ^ 2 \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] g [/ matemáticas] -aceleración gravitacional

[matemática] k [/ matemática] -proporcionalidad constante

Esta es una ecuación muy típica para la aceleración de un objeto que actúa sobre la resistencia.

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ text {d} v} {\ text {d} t} = g-kv ^ 2 \ iff \ frac {\ text {d} v} {g-kv ^ 2} = \ texto {d} t \ tag * {} [/ math]

La forma típica de resolver esto es mediante la separación de variables,

Fracciones parciales

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {g-kv ^ 2} = \ frac {\ text A} {\ sqrt gv \ sqrt k} + \ frac {\ text B} {\ sqrt g + v \ sqrt k } \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle 1 = {\ text A (\ sqrt g + v \ sqrt k)} + {\ text B (\ sqrt gv \ sqrt k)} \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle v = \ frac {\ sqrt g} {\ sqrt k}, \ text A = \ frac {1} {2 \ sqrt g}, v = – \ frac {\ sqrt g} {\ sqrt k }, B = \ frac {1} {2 \ sqrt g} \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {2 \ sqrt g} \ bigg (\ int \ frac {\ text dv} {\ sqrt gv \ sqrt k} + \ int \ frac {\ text dv} {\ sqrt g + v \ sqrt k} \ bigg) = \ int \ text dt \ iff \ int \ frac {\ text dv} {\ sqrt gv \ sqrt k} + \ int \ frac {\ text dv} {\ sqrt g + v \ sqrt k} = \ int 2 \ sqrt g \ text dt \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {-1} {\ sqrt k} \ int \ frac {- \ sqrt k \ text dv} {\ sqrt gv \ sqrt k} + \ frac {1} {\ sqrt k} \ int \ frac {\ sqrt k \ text dv} {\ sqrt g + v \ sqrt k} = \ int 2 \ sqrt g \ text dt \ iff \ frac {1} {\ sqrt k} \ ln | \ sqrt g + v \ sqrt k | – \ frac {1} {\ sqrt k} \ ln | \ sqrt gv \ sqrt k | = 2 \ sqrt g t + c \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {\ sqrt k} \ ln | \ sqrt g + v \ sqrt k | – \ frac {1} {\ sqrt k} \ ln | \ sqrt gv \ sqrt k | = 2 \ sqrt g t + c \ iff \ frac {1} {\ sqrt k} \ ln \ bigg | \ frac {\ sqrt g + v \ sqrt k} {\ sqrt gv \ sqrt k} \ bigg | = 2t \ sqrt g + c \ tag * {} [/ math]

Answer 2

Esto parece ser accesible a través de una separación de enfoque variable:

Puede transformar la ecuación en [matemáticas] dv / (g-kv ^ 2) = 1.dt [/ matemáticas]

En consecuencia, puede factorizar el lado izquierdo en una diferencia de dos cuadrados y luego separar, dando

[matemática] dv (\ frac {1} {\ sqrt {g} + \ sqrt {k} v} + \ frac {1} {\ sqrt {g} – \ sqrt {k} v}) = \ frac {dt } {2 \ sqrt {g}} [/ math]

Esto se puede integrar una vez que conozca algunas condiciones de contorno (por ejemplo, v (0)) para obtener algo como:

[matemáticas] \ frac {1} {\ sqrt {k}} \ ln (\ sqrt {g} + \ sqrt {k} v) – \ frac {1} {\ sqrt {k}} \ ln (\ sqrt { g} – \ sqrt {k} v) = \ frac {t} {2 \ sqrt {g}} + C [/ matemáticas]

a partir del cual

[matemáticas] \ ln (\ frac {\ sqrt {g} + \ sqrt {k} v} {\ sqrt {g} – \ sqrt {k} v)} = \ frac {1} {2} \ sqrt {\ frac {k} {g}} t + C ‘[/ matemáticas]

y luego puede exponer ambos lados y simplificar para obtener una fórmula para v, dependiendo de las condiciones de contorno

Answer 3

Esta ecuación diferencial debería ser una aceleración de un objeto en consideración a la caída de la resistencia del aire en el campo gravitacional de la Tierra.

1. [matemáticas] \ frac {dv} {g-kv ^ 2} = dt [/ matemáticas]

2. Entonces integremos ambos lados: [math] \ int \ frac {dv} {g-kv ^ 2} = \ int dt [/ math]

Aquí, digamos que t tiene un valor inicial de 0, y el valor inicial de v es 0:

3. [matemáticas] \ frac {-1} {2} \ sqrt {\ frac {g} {k}} \ frac {\ ln (| v- \ sqrt {\ frac {g} {k}} |)} {v + \ sqrt {\ frac {g} {k}}} = t [/ math]

4. [matemáticas] v = \ sqrt {\ frac {g} {k}} \ frac {\ exp (-2 \ sqrt {\ frac {g} {k}} t) +1} {1- \ exp ( -2 \ sqrt {\ frac {g} {k}} t))} [/ math]

Answer 4

Estoy publicando mi respuesta porque estoy obteniendo un resultado diferente al de los otros que ya han publicado. Intenté manipular la respuesta final para que se pareciera a otras respuestas, pero no pude, así que supongo que en realidad es diferente.

Answer 5

Esta ecuación diferencial es no lineal, pero separable.

Puede dividir ambos lados entre g-kv ^ 2 y multiplicar el dt. Integrar ambos lados.

Obtiene ln (a + bv) – ln (a – bv) = bt + C, donde a = g ^ 0.5 y b = k ^ 0.5.

En otras palabras, ln [(a + bv) / (a-bv)] = bt + C
a + bv / a-bv = Ae ^ bt
a + bv = aAe ^ bt – vbAe ^ bt
v (t) = a (Ae ^ bt-1) / b (Ae ^ bt + 1)

Por cierto … esto es obviamente un problema de tarea sobre un objeto que cae por el aire, con resistencia al aire = kv ^ 2. Pero me siento caritativo, así que lo respondo de todos modos 😀

Answer 6

PLANIFICACIÓN DE TIERRA:

① ∫ (1 / (v²-a²) dx≡½∫ [(1 / (va) -1 / (v + a)] dv = ½㏑ | (va) / (v + a) | + C

② DEJAR ： (g / k) = a²

③ -dv / dt = kv²-g

-dv / dt = (k) [v²- (g / k)]

-∫ [1 / (v²-a²)] dv = k∫dt

-½㏑ | (va) / (v + a) | = kt + C

㏑ [(v + a) / (va)] = 2kt + C 【use -㏑ (p / q) = ㏑ (q / p)】

β = αe ^ (2kt) <=> e ^ (2kt + C) = (v + a) / (va) 【α = e ^ C】

β (va) = v + a

v (β-1) = a (β + 1)

v = a (β + 1) / (β-1)

v = [√ (g / k)] [αe ^ (2kt) -1] / [αe ^ (2kt) -1]

Answer 7

* A2A

[matemáticas] \ begin {align} \ dfrac {\ mathrm dv} {\ mathrm dt} & = g-kv ^ 2 \\\ int \ dfrac {\ mathrm dv} {g-kv ^ 2} & = \ int \ mathrm dt \\\ dfrac1g \ int \ dfrac {\ mathrm dv} {1- \ left (v \ sqrt {\ dfrac kg} \ right) ^ 2} & = t + C \\\ hline \ text {Let} u = v \ sqrt {\ dfrac kg} & \ implica \ mathrm du = \ sqrt {\ dfrac kg} \ mathrm dv \\\ dfrac1g \ cdot \ sqrt {\ dfrac kg} \ int \ dfrac {\ mathrm du} {1 -u ^ 2} & = t + C \\\ dfrac1g \ sqrt {\ dfrac kg} \ cdot \ dfrac12 \ ln \ left | \ dfrac {1 + u} {1-u} \ right | & = t + C \\\ dfrac {\ sqrt k} {2g \ sqrt g} \ ln \ left | \ dfrac {1 + v \ sqrt {\ dfrac kg}} {1-v \ sqrt {\ dfrac kg}} \ right | & = t + C \ end {align} \ tag * {} [/ math]