Resulta que, de hecho, hay una solución mucho más general a este problema que la solución trivial señalada por otros ([matemática] u (x, t) = 0 [/ matemática]). Para encontrarlo, comenzamos con la suposición de que la solución será separable . Es decir, la solución tomará la forma [matemáticas] u (x, t) = f (t) g (x) [/ matemáticas]. Esta es una herramienta bastante estándar en la caja de herramientas de resolución de PDE, y como descubriremos, está justificada en este caso.
Con esa suposición, encontramos que nuestra ecuación se convierte en:
[matemáticas] {f} ” gx ^ 2 {g} ” f = 0 \ Rightarrow \ frac {{f} ”} {f} = \ frac {x ^ 2 {g} ”} {g} [ /matemáticas]
Ahora, dado que el lado izquierdo de esto es una función solo de [math] t [/ math], y el lado derecho es solo una función de [math] x [/ math], está claro que la única forma en que esto puede ser cierto en general si ambos lados son iguales a alguna constante, [matemática] K [/ matemática]. Entonces, dado que ambos lados son iguales a esta constante, en lugar de una PDE, ahora tenemos dos ODE. Y al observar las condiciones iniciales y de contorno que se proporcionaron, encontramos que cada una establece la solución igual a cero. Esto es muy conveniente para nuestra suposición de separabilidad, ya que significa que podemos aplicar la condición inicial a [math] f [/ math], y las condiciones límite a [math] g [/ math], y ambos forzarán la solución completa [matemática] u [/ matemática] a cero donde sea necesario. ¡Agradable!
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Entonces comenzaremos con el problema más fácil de resolver la porción variable de tiempo de la ecuación, [math] f [/ math].
[math] \ frac {{f} ”} {f} = K \ Rightarrow {f} ” – Kf = 0 [/ math]
Esta es una ODE lineal simple con coeficientes constantes, que tiene la ecuación característica [math] r ^ 2-K = 0 \ Rightarrow r = \ pm \ sqrt {K} [/ math], por lo que la solución general es simplemente:
[math] f (t) = Ae ^ {\ sqrt {K} t} + Be ^ {- \ sqrt {K} t} [/ math], donde [math] A [/ math] y [math] B [ / math] son constantes
Ahora, desde la condición inicial, en [matemática] t = 0 [/ matemática] sabemos que [matemática] f = 0 [/ matemática], lo que lleva a [matemática] A + B = 0 \ Rightarrow B = -A [ /matemáticas]. Entonces tenemos:
[matemáticas] f (t) = A \ left (e ^ {\ sqrt {K} t} -e ^ {- \ sqrt {K} t} \ right) [/ math]
Ahora podemos pasar a la parte espacial de la ecuación, [math] g [/ math]:
[matemáticas] \ frac {x ^ 2 {g} ”} {g} = K \ Rightarrow {g} ” – \ frac {K} {x ^ 2} g = 0 [/ math]
Este es un ODE lineal de segundo orden con coeficientes no constantes. Por el estudio de tales EDO lineales de segundo orden, sabemos que si podemos encontrar dos soluciones linealmente independientes particulares para esta ecuación, entonces la solución general será una combinación lineal de esas dos soluciones particulares. Afortunadamente, la forma relativamente simple de la ecuación nos da una pista de que una solución de la forma [math] g_1 = x ^ \ alpha [/ math], para algunos (no necesariamente enteros) [math] \ alpha [/ math] podría dénos lo que estamos buscando, así que probémoslo. Claramente, [math] {g_1} ” = \ alpha (\ alpha-1) x ^ {\ alpha-2} [/ math], sustituyendo [math] g_1 [/ math] en nuestro ODE, obtenemos:
[matemáticas] \ alpha (\ alpha-1) x ^ {\ alpha-2} – \ frac {K} {x ^ 2} x ^ \ alpha = (\ alpha (\ alpha-1) -K) x ^ { \ alpha-2} = 0 [/ matemáticas]
Claramente, esto solo es posible, en general, si [math] \ alpha (\ alpha-1) -K = 0 [/ math]. Entonces sabemos:
[matemáticas] \ alpha ^ 2- \ alpha-K = 0 \ Rightarrow \ alpha = \ frac {1} {2} \ pm \ frac {\ sqrt {1 + 4K}} {2} [/ math]
¡Excelente! Mientras el discriminante sea distinto de cero (es decir, [matemáticas] 1 + 4K \ ne 0 \ Rightarrow K \ ne – \ tfrac {1} {4} [/ matemáticas]), ahora tenemos las dos soluciones linealmente independientes que estábamos buscando ! Entonces, sujeto a esta restricción, tenemos la solución general:
[matemáticas] g (x) = Cx ^ {\ tfrac {1} {2} + \ tfrac {1} {2} \ sqrt {1 + 4K}} + Dx ^ {\ tfrac {1} {2} – \ tfrac {1} {2} \ sqrt {1 + 4K}} [/ math], donde [math] C [/ math] y [math] D [/ math] son constantes
Ahora, la primera condición límite requiere que cuando [math] x = 1 [/ math], [math] g = 0 [/ math]. Entonces sabemos que [matemática] C + D = 0 \ Flecha de flecha D = -C [/ matemática]. Esto nos da:
[matemáticas] g (x) = C \ left (x ^ {\ tfrac {1} {2} + \ tfrac {1} {2} \ sqrt {1 + 4K}} – x ^ {\ tfrac {1} { 2} – \ tfrac {1} {2} \ sqrt {1 + 4K}} \ right) [/ math]
[matemáticas] \ Rightarrow g (x) = C \ sqrt {x} \ left (x ^ {\ tfrac {1} {2} \ sqrt {1 + 4K}} – x ^ {- \ tfrac {1} {2 } \ sqrt {1 + 4K}} \ right) [/ math]
let [math] \ beta_1 = \ tfrac {1} {2} \ sqrt {1 + 4K} [/ math], entonces tenemos:
[matemáticas] g (x) = C \ sqrt {x} (x ^ {\ beta_1} -x ^ {- \ beta_1}) [/ matemáticas]
Desafortunadamente, la segunda condición límite (cuando [matemática] x = 2 [/ matemática], [matemática] g = 0 [/ matemática]) no es tan limpia. Sustituyendo en la ecuación, obtenemos:
[matemáticas] C \ sqrt {2} (2 ^ {\ beta_1} -2 ^ {- \ beta_1}) = 0 \ Rightarrow 2 ^ {\ beta_1} -2 ^ {- \ beta_1} = 0 [/ matemáticas]
Multiplicando ambos lados por [matemáticas] 2 ^ {\ beta_1} [/ matemáticas], encontramos:
[matemáticas] 2 ^ {2 \ beta_1} -1 = (2 ^ {\ beta_1} -1) (2 ^ {\ beta_1} +1) = 0 \ Rightarrow 2 ^ {\ beta_1} = \ pm1 [/ math]
Ahora, si [matemática] 2 ^ {\ beta_1} = 1 [/ matemática], tenemos un problema, ya que esto implica [matemática] \ beta_1 = \ tfrac {1} {2} \ sqrt {1 + 4K} = 0 \ Rightarrow K = – \ tfrac {1} {4} [/ math], que no está permitido que esta solución funcione. Entonces solo la otra solución es utilizable:
[math] 2 ^ {\ beta_1} = – 1 \ Rightarrow \ beta_1 \ ln {2} = \ ln {(- 1)} [/ math]
Recordemos la fórmula de Euler:
[matemáticas] e ^ {i \ theta} = \ cos {\ theta} + i \ sin {\ theta} [/ matemáticas]
Tenga en cuenta que cuando [math] \ theta = (2n + 1) \ pi [/ math], el término [math] \ cos [/ math] es [math] -1 [/ math] y el [math] \ sin El término [/ math] es [math] 0 [/ math], entonces:
[matemática] e ^ {i (2n + 1) \ pi} = – 1 \ Rightarrow i (2n + 1) \ pi = \ ln {(- 1)} [/ math]
Entonces tenemos:
[matemáticas] \ beta_1 \ ln {2} = i (2n + 1) \ pi \ Rightarrow \ beta_1 = \ frac {i (2n + 1) \ pi} {\ ln {2}} [/ math]
Ahora, es inconveniente que esta constante sea imaginaria, por lo que definiremos una nueva constante, [math] \ beta [/ math], de modo que
[math] \ beta_1 = i \ beta \ Rightarrow \ beta = \ frac {(2n + 1) \ pi} {\ ln {2}} [/ math]
Ahora, desde [math] \ beta_1 = \ tfrac {1} {2} \ sqrt {1 + 4K} [/ math], debemos tener:
[matemáticas] \ tfrac {1} {2} \ sqrt {1 + 4K} = i \ beta \ Rightarrow 1 + 4K = -4 \ beta ^ 2 [/ matemáticas]
Entonces tenemos
[matemáticas] K = – \ beta ^ 2- \ tfrac {1} {4} [/ matemáticas]
Es inconveniente que K sea negativo, por lo que definiré una nueva constante, [math] \ gamma = -K [/ math], para que
[matemáticas] \ gamma = \ beta ^ 2 + \ tfrac {1} {4} [/ matemáticas]
Entonces ahora tenemos la solución para [math] g (x) [/ math]:
[matemáticas] g (x) = C \ sqrt {x} (x ^ {i \ beta} -x ^ {- i \ beta}) [/ matemáticas], para [matemáticas] \ beta = \ frac {(2n + 1) \ pi} {\ ln {2}} [/ math]
Ahora, es conveniente notar que
[matemáticas] x ^ {i \ beta} = e ^ {\ ln {x ^ {i \ beta}}} = e ^ {i \ beta \ ln {x}} [/ matemáticas]
Similar:
[matemáticas] x ^ {- i \ beta} = e ^ {- i \ beta \ ln {x}} [/ matemáticas]
Ahora recuerde nuevamente la fórmula de Euler, por lo que debemos tener:
[matemáticas] x ^ {i \ beta} = \ cos {(\ beta \ ln {x})} + i \ sin {(\ beta \ ln {x})} [/ matemáticas]
y
[matemáticas] x ^ {- i \ beta} = \ cos {(\ beta \ ln {x})} – i \ sin {(\ beta \ ln {x})} [/ matemáticas]
Entonces nuestra solución se puede reescribir como:
[matemáticas] g (x) = C \ sqrt {x} (\ cos {(\ beta \ ln {x})} + i \ sin {(\ beta \ ln {x})} – \ cos {(\ beta \ ln {x})} + i \ sin {(\ beta \ ln {x})}) \\\ qquad = 2Ci \ sqrt {x} \ sin {(\ beta \ ln {x})} [/ math ]
y dejemos [math] C_1 = 2Ci [/ math], entonces tenemos:
[matemáticas] g (x) = C_1 \ sqrt {x} \ sin {(\ beta \ ln {x})} [/ matemáticas], para [matemáticas] \ beta = \ frac {(2n + 1) \ pi} {\ ln {2}} [/ matemáticas]
Ahora revisemos nuestra porción variable de tiempo de la solución, [math] f (t) [/ math]. Recuerde que [math] \ gamma = -K [/ math], entonces sabemos que [math] \ sqrt {K} = i \ sqrt {\ gamma} [/ math]:
[matemáticas] f (t) = A \ left (e ^ {i \ sqrt {\ gamma} t} -e ^ {- i \ sqrt {\ gamma} t} \ right) [/ math]
y recordando una vez más la fórmula de Euler:
[matemáticas] e ^ {i \ sqrt {\ gamma} t} = \ cos {(\ sqrt {\ gamma} t)} + i \ sin {(\ sqrt {\ gamma} t)} [/ math]
y
[matemáticas] e ^ {- i \ sqrt {\ gamma} t} = \ cos {(\ sqrt {\ gamma} t)} – i \ sin {(\ sqrt {\ gamma} t)} [/ math]
Entonces podemos reescribir [math] f (t) [/ math] como:
[matemáticas] f (t) = A \ left (\ cos {(\ sqrt {\ gamma} t)} + i \ sin {(\ sqrt {\ gamma} t)} – \ cos {(\ sqrt {\ gamma } t)} + i \ sin {(\ sqrt {\ gamma} t)} \ right) \\\ qquad = 2Ai \ sin {(\ sqrt {\ gamma} t)} [/ math]
Una vez más cambiando constantes, [matemática] C_2 = 2Ai [/ matemática], se convierte simplemente en:
[matemática] f (t) = C_2 \ sin {(\ sqrt {\ gamma} t)} [/ matemática], donde [matemática] \ gamma = \ beta ^ 2 + \ tfrac {1} {4} [/ matemática ]
¡Así que ahora podemos poner todo junto! Tenemos [matemática] u (x, t) = f (t) g (x) [/ matemática], por lo que nuestra solución final y general a esta ecuación se convierte en:
[matemáticas] u (x, t) = C_2 \ sin {(\ sqrt {\ gamma} t)} C_1 \ sqrt {x} \ sin {(\ beta \ ln {x})} [/ matemática]
Haciendo una sustitución final de constantes, [matemática] C_n = C_1C_2 [/ matemática], llegamos a la solución final:
[matemáticas] \ boxed {u (x, t) = C_n \ sqrt {x} \ sin {(\ beta \ ln {x})} \ sin {(\ sqrt {\ gamma} t)} \\\\ \ textrm {donde:} \\ \ beta = \ tfrac {(2n + 1) \ pi} {\ ln {2}} \\ \ gamma = \ beta ^ 2 + \ tfrac {1} {4} \\ \ textrm {para cualquier constante,} C_n \ textrm {, y cualquier número entero,} n} [/ math]
Wow, esa fue divertida. Dejaré como ejercicio al lector que sustituya esta solución nuevamente en la ecuación original para verificar que funciona. 🙂