El método de Euler es un proceso muy antiguo para resolver IVP’s de ODE’s. Es un algoritmo numérico explícito de primer orden.
Ok, ahora expliquemos qué significa todo eso. Cuando se habla de procedimientos numéricos, un algoritmo es explícito si solo usa valores de funciones anteriores para determinar los actuales. Por el contrario, lo implícito puede usar el valor actual y requiere un poco más de cálculo para resolverlo.
El bit de primer orden simplemente significa que el error es proporcional al tamaño del paso entre puntos. Esto será un poco más claro más tarde.
Ahora para el algoritmo. El método de Euler comienza con una EDO, digamos [matemáticas] y ‘(t) = f (t, y (t)) [/ matemáticas], y un PIV, digamos [matemáticas] y (n) = a_0, [/ matemáticas] y calcula [matemáticas] y (n + 1) [/ matemáticas] por [matemáticas] y (n + 1) = y (n) + h \ cdot f (t, y (n)) [/ matemáticas]. La [matemática] h [/ matemática] en la ecuación se llama el tamaño del paso y se puede aumentar o disminuir para cambiar la precisión.
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Eso puede parecer confuso, así que veamos su ejemplo.
Tenemos [math] y ‘(t) = f (t, y (t)) = y (t) [/ math] que en realidad es solo una función de [math] y (t) [/ math]
No ha especificado una condición inicial, que es necesaria para estas aproximaciones numéricas, por lo que supondré [math] y (0) = 1 [/ math]
Por último, necesitamos un tamaño de paso [math] h [/ math]. Por lo general, esto se elige teniendo en cuenta el resultado final, pero como tampoco lo ha especificado, tomaré [math] h = 1 [/ math].
Entonces, [matemáticas] y (n + 1) = y (n) + h \ cdot f (t, y (n)) \ implica y (1) = y (0) + h \ cdot y (0) = 1 + h \ cdot 1 = 1 + 1 = 2. [/ matemáticas]
Podemos continuar este proceso para obtener valores para [math] y (2), y (3) [/ math], etc.
Hay algunas características definitorias de esto para quitar
- Cualquier análisis numérico como este requiere un punto inicial y final. No son simbólicos y no devolverán algo como [math] y = Ce ^ x [/ math] como habías esperado
- El error en este algoritmo es proporcional al tamaño del paso (eso es lo que significa primer orden). Por lo tanto, disminuir la h también disminuye el error.
Podría entrar en muchos más detalles sobre cómo esto es relativamente inestable, tanto para las EDO rígidas como para otros métodos similares con un orden mayor, pero dado que esta es una pregunta relativamente baja, no me molestaré en bombardear al interrogador con demasiado .
Feliz mathing
Editar: me acabo de dar cuenta de que la página wiki muestra exactamente el mismo ejemplo. Entonces, si desea ver algo que es mucho menos probable que contenga errores, consulte el enlace en la primera oración.
Además, un hecho divertido: el método de Euler se mencionó en la película Hidden Figures para resolver su problema. Olvidé exactamente lo que era, pero parece recordar haber pensado que el Método Euler definitivamente no era la mejor opción.