Si la ecuación diferencial de un objeto que ejecuta SHM es [matemática] \ dfrac {\ text {d} ^ 2 x} {\ text {d} t ^ 2} + Ax = 0 [/ matemática], entonces cuál es el período de tiempo de oscilación?

Answer 1

Para responder a la pregunta, debe resolver la ecuación diferencial en cuestión (que, por cierto, no especifica las condiciones de contorno):

[matemáticas] \ ddot x = -Ax \ tag {1} [/ matemáticas]

donde el operador de punto, como de costumbre, significa una derivada con respecto al tiempo .

Aquí hay una forma de hacerlo: designar:

[matemáticas] \ omega ^ 2 = A \ etiqueta {2} [/ matemáticas]

y expanda la definición de [math] \ ddot x [/ math] como primera derivada de [math] \ dot x [/ math] con el tiempo en el lado izquierdo de ( 1 ):

[matemáticas] \ dfrac {d \ dot x} {dt} = – \ omega ^ 2 x \ tag {3} [/ matemáticas]

Multiplica ambos lados de ( 3 ) por [math] dt [/ math]:

[matemáticas] d \ dot x = – \ omega ^ 2 x dt \ tag {4} [/ matemáticas]

Multiplique ambos lados de ( 4 ) por [math] \ dot x [/ math] y expanda la definición de [math] \ dot x [/ math] en el lado derecho de ( 4 ):

[matemáticas] \ dot xd \ dot x = – \ omega ^ 2 x dt \ dot x = – \ omega ^ 2 x dt \ dfrac {dx} {dt} = – \ omega ^ 2 xdx \ tag {5} [/ matemáticas]

Integre ambos lados de ( 5 ):

[matemáticas] \ dot x ^ 2 = – \ omega ^ 2 x ^ 2 + C \ tag {6} [/ matemáticas]

donde hemos multiplicado ambos lados de ( 6 ) por [matemática] 2 [/ matemática] y la hemos plegado en la constante de integración [matemática] C [/ matemática].

Para recuperar C se necesitan las condiciones iniciales. Supongamos que son:

[matemáticas] \ dot x (0) = 0, \; x (0) = x_0 \ tag {7} [/ matemáticas]

Entonces:

[matemáticas] C = \ omega ^ 2 x_0 ^ 2 \ etiqueta {8} [/ matemáticas]

Por lo tanto, ( 6 ) se convierte en:

[matemáticas] \ Big (\ dfrac {dx} {dt} \ Big) ^ 2 = \ omega ^ 2x_0 ^ 2 – \ omega ^ 2x ^ 2 \ tag {9} [/ math]

Separe las variables en ( 9 ) e integre de [matemáticas] x_0 [/ matemáticas] a [matemáticas] x [/ matemáticas] en el lado izquierdo de ( 9 ) y de [matemáticas] 0 [/ matemáticas] a [matemáticas] t [/ math] en el lado derecho de ( 9 ):

[matemáticas] \ dfrac {dx} {\ sqrt {x_0 ^ 2 – x ^ 2}} = \ omega dt \ tag {10} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ int_ {x_0} ^ x \ dfrac {dx} {\ sqrt {x_0 ^ 2 – x ^ 2}} = \ int_0 ^ t \ omega dt = \ omega t \ tag {11} [/ matemática ]

usando la sustitución [math] x = x_0 \ sin u [/ math] para la integral en el lado izquierdo de ( 11 ):

[matemáticas] \ arcsin \ dfrac {x} {x_0} – \ dfrac {\ pi} {2} = \ omega t \ tag {12} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ arcsin \ dfrac {x} {x_0} = \ omega t + \ dfrac {\ pi} {2} \ tag {13} [/ matemáticas]

[matemáticas] x = x_0 \ sin \ Big (\ omega t + \ dfrac {\ pi} {2} \ Big) = x_0 \ cos \ omega t \ tag {14} [/ matemáticas]

Dado que la función [math] \ cos (x) [/ math] es periódica con un período igual a [math] 2 \ pi [/ math], se deduce que después de un período de tiempo especial llamado período , [math] T [/ math], la magnitud de la coordenada comenzará a tomar los mismos valores:

[matemáticas] \ omega T = 2 \ pi \ etiqueta {15} [/ matemáticas]

o:

[matemáticas] T = \ dfrac {2 \ pi} {\ omega} = \ dfrac {2 \ pi} {\ sqrt {A}} \ tag {16} [/ matemáticas]

Answer 2

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ text {d} ^ 2x} {\ text {d} t ^ 2} + Ax = 0 \ iff \ frac {\ text {d} ^ 2x} {\ text {d} t ^ 2} = -Ax \ tag * {} [/ math]

donde [math] \ displaystyle A = (\ omega) ^ 2 \ tag * {} [/ math]

Esta es una ecuación diferencial homogénea de segundo orden.

[matemáticas] \ displaystyle x = e ^ {kt}, \ frac {\ text {d} x} {\ text {d} t} = ke ^ {kt}, \ frac {\ text {d} ^ 2x} { \ text {d} t ^ 2} = k ^ 2e ^ {kt} \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ text {d} ^ 2x} {\ text {d} t ^ 2} = – \ omega ^ 2 x \ iff k ^ 2e ^ {kt} = – \ omega ^ 2e ^ { kt} \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle k ^ 2e ^ {kt} = – \ omega ^ 2e ^ {kt} \ iff k ^ 2 = – \ omega ^ 2 \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle k ^ 2 = – \ omega ^ 2 \ iff k = \ pm i \ omega \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle x = A \ cos \ omega t + B \ sin \ omega t \ tag * {} [/ matemáticas]

Imponer la condición donde

[matemáticas] \ displaystyle t = 0, x = x_0, v = 0 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle x_0 = A \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle 0 = B \ omega \ cos \ omega t \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle x = x_0 \ cos \ omega t \ tag * {} [/ matemáticas]

Omega se define como el tiempo que le toma a un objeto completar un ciclo.

[matemáticas] \ displaystyle \ omega = \ frac {2 \ pi} {T} \ iff T = \ frac {2 \ pi} {\ omega} \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle T = \ frac {2 \ pi} {\ omega} \ iff T = \ frac {2 \ pi} {\ sqrt A} \ tag * {} [/ matemáticas]

Answer 3

Supongo que te refieres a [matemáticas] x [/ matemáticas] en lugar de a [matemáticas] y [/ matemáticas]. En cuyo caso tenemos

[matemáticas] \ dfrac {\ text {d} ^ 2 x} {\ text {d} t ^ 2} = -Ax [/ matemáticas]

La solución es algo así como [matemática] x = \ sin \ omega t [/ matemática] donde [matemática] \ omega ^ 2 = A [/ matemática] y entonces el período es [matemática] \ frac {2 \ pi} {\ omega} = \ frac {2 \ pi} {\ sqrt A} [/ math].