Ok, estas ideas son los fundamentos para resolver las llamadas ecuaciones diferenciales ordinarias no homogéneas; es decir, ecuaciones diferenciales donde un operador diferencial aplicado a la solución no es 0 en todas partes (podría ser 0 en algunos lugares). Me imagino que existen nociones similares para ecuaciones diferenciales parciales, pero no estoy familiarizado con ellas, por lo que no comentaré aquí. Una ecuación diferencial ordinaria no homogénea (ODE) es una de las siguientes formas:
[matemáticas] Dy = f (x) [/ matemáticas],
donde [math] D [/ math] es un operador diferencial de coeficiente constante lineal , [math] f [/ math] una función arbitraria, y [math] y (x) [/ math] es la solución a la ecuación diferencial. ¡Que [math] D [/ math] es lineal en [math] y [/ math] y sus derivados y tiene coeficientes constantes aplicados a las derivadas es crucial aquí! El argumento que sigue no es válido de otra manera. Hay algunas posibles complicaciones, pero no nos preocupemos por ellas; Esto incluye restricciones en los intervalos en los que la solución es válida, suavidad de [matemáticas] f [/ matemáticas], etc. ¡Vamos al grano! La idea es esta: la solución [matemáticas] y [/ matemáticas] se puede escribir como la suma de dos soluciones: [matemáticas] y_h [/ matemáticas] es la solución a la ecuación homogénea (la ecuación anterior con [matemáticas] f ( x) = 0 [/ math]), y [math] y_p [/ math] es la solución particular a la ecuación completa. Esto tiene sentido, considerando que [matemáticas] f (x) = 0 + f (x) [/ matemáticas], y la ecuación diferencial que estamos viendo es lineal.
La solución homogénea [math] y_h [/ math] se llama CF, abreviatura de función complementaria, mientras que la solución particular [math] y_p [/ math] se llama PI, abreviatura de integral particular.
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