Cómo resolver la ecuación diferencial y ” – 2y ‘= e ^ x

Answer 1

Supongamos que tiene una ecuación diferencial de la forma

[matemáticas] ay ” + por ‘+ cy = p (x) [/ matemáticas]

Donde p (x) es una función de x. Resolver esto es un proceso de varios pasos. Sin embargo, el algoritmo es bastante sencillo:

1. Resuelva la versión homogénea de la ecuación (cuando [math] p (x) = 0 [/ math] para todo x) para obtener la solución homogénea ([math] y_h [/ math])
2. Resuelva la versión no homogénea de la ecuación, también conocida como la solución particular ([math] y_p [/ math])
3. Agregue los dos juntos para obtener la solución real ([math] y = y_h + y_p [/ math])

Ahora, supondré que ya sabes cómo resolver ([matemáticas] y_h = c_1 + c_2e ^ {2x} [/ matemáticas]), así que concentrémonos en el otro. Mira el lado derecho. Necesitamos afirmar una función que resuelva la ecuación. Si:

[matemática] p (x) = x ^ n [/ matemática], luego [matemática] y_p = A_0x ^ 0 + A_1x ^ 1 + A_2x ^ 2 +… + A_nx ^ n [/ matemática]

[matemática] p (x) = e ^ x [/ matemática], luego [matemática] y_p = Ae ^ x [/ matemática]

[matemática] p (x) = sin (x) [/ matemática], luego [matemática] y_p = Asin (x) + Bcos (x) [/ matemática]

[matemáticas] p (x) = cos (x) [/ matemáticas], luego [matemáticas] y_p = Asin (x) + Bcos (x) [/ matemáticas]

Luego, diferencie [math] y_p [/ math] dos veces y colóquelo en la ecuación. Como [matemática] p (x) = e ^ x [/ matemática] de acuerdo con esto, obtenemos:

[matemáticas] y_p = Ae ^ x [/ matemáticas]

[matemáticas] y’_p = Ae ^ x [/ matemáticas]

[matemáticas] y ” _ p = Ae ^ x [/ matemáticas]

Ingrese estos tres en la ecuación original, obtenemos:

[matemáticas] Ae ^ x – 2Ae ^ x = e ^ x [/ matemáticas]

Que es equivalente a

[matemáticas] -Ae ^ x = e ^ x [/ matemáticas]

Lo que significa [matemáticas] A = -1 [/ matemáticas] y, por lo tanto, que [matemáticas] y_p = -e ^ x [/ matemáticas]. Ahora para ponerlo todo junto:

[matemáticas] y = y_h + y_p = c_1 + c_2e ^ {2x} – e ^ x [/ matemáticas]

Esto resuelve el 90% de todas estas ecuaciones diferenciales. Para el último 10%, puede encontrar que su función afirmada no homogénea puede, de hecho, ser una solución a su función homogénea, por lo que termina con [math] 0 = p (x) [/ math]. Si ese es el caso, multiplique todos los términos en [matemáticas] y_p [/ matemáticas] con [matemáticas] x [/ matemáticas].

Si todavía no funciona, repita multiplicando los términos con x hasta que lo haga. ¡Espero que eso lo aclare!

Answer 2

[matemáticas] \ displaystyle y ” – 2y ‘= e ^ x [/ matemáticas]

Dado que el LHS es una función de [matemática] y ‘[/ matemática], y [matemática] y’ [/ matemática] una función de [matemática] x [/ matemática], deje que [matemática] u (x) = y ‘ [/matemáticas].

Entonces [math] \ displaystyle u’-2u = e ^ x [/ math].

Esta es de la forma u [math] ‘+ f (x) \ cdot u = g (x) [/ math], que siempre se puede resolver multiplicando por un factor integrador.

En este caso, nuestro factor integrador es

[matemáticas] \ displaystyle \ exp {\ left (\ int \ limits_ {0} ^ {x} (- 2) \, ds \ right)} = e ^ {- 2x} [/ math]

Multiplicando por ese factor para unir [math] \ text {LHS} [/ math] como una derivada,

[matemáticas] \ displaystyle u’e ^ {- 2x} -2ue ^ {- 2x} = e ^ {- x} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ left (ue ^ {- 2x} \ right) ‘= e ^ {- x} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle ue ^ {- 2x} = \ int \ limits_ {t_0} ^ {x} e ^ {- t} \, dt = C_1-e ^ {- x} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle u = C_1e ^ {2x} -e ^ x [/ matemáticas]

Deshaciendo la sustitución original,

[matemáticas] \ displaystyle y ‘= C_1e ^ {2x} -e ^ x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle y = C_2 + C_1 ^ ′ e ^ {2x} -e ^ x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle y = y_m + \ left (\ dfrac {y ‘(0) +1} {2} \ right) e ^ {2x} -e ^ x [/ math],

donde [math] y_m [/ math] es el valor asintótico de la función descrito por [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to – \ infty} y [/ math].

Answer 3

[matemáticas] y ” – 2y ‘= e ^ x [/ matemáticas]

Primero, resolvamos [math] y ” – 2y ‘= 0 [/ math].

[matemáticas] r ^ 2-2r = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] r (r-2) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] r_1 = 0, r_2 = 2 [/ matemáticas]

[matemática] y = c_1 e ^ 0 + c_2 e ^ {2x} + f (x) [/ matemática] [matemática] = c_1 + c_2 e ^ {2x} + f (x) [/ matemática]

Luego, suponga [matemáticas] f (x) = ke ^ x [/ matemáticas].

[matemáticas] f ” (x) -2f ‘(x) = ke ^ x-2ke ^ x = -ke ^ x = e ^ x [/ matemáticas]

Por lo tanto, [matemática] k = -1 [/ matemática] y [matemática] f (x) = – e ^ x [/ matemática]

Por lo tanto, [matemática] f (x) = c_1 + c_2 e ^ {2x} -e ^ x [/ matemática]

Answer 4

d ^ 2y (x) / dx ^ 2 – 2 (dy (x) / dx) = e ^ x. Comenzaría por suponer que las soluciones serán proporcionales a e ^ λx para alguna constante λ. Entonces sustituiría y (x) = e ^ λx en la ecuación diferencial. Dando d ^ 2 / dx ^ 2 (e ^ λx) – 2 (d / dx) e ^ λx = 0. Luego sustituyendo d ^ 2 / dx ^ 2 (e ^ λx) = λ ^ 2 (e ^ λx). Y d / dx (e ^ λx) = λe ^ λx: λ ^ 2 e ^ λx – 2λe ^ λx = 0. Esto se simplifica a (λ ^ 2–2λ) e ^ λx = 0. Y debido a que e ^ λx no puede ser cero para ningún λ finito, los ceros deben provenir del polinomio: λ ^ 2–2λ = 0, λ = 0, λ = 2. La raíz λ = 0 da y1 (x) = c1 como solución, (pido disculpas por el formato, estoy usando mi teléfono). Donde c1 es una constante arbitraria. La raíz λ = 2 da y2 (x) = c2 e ^ 2x como solución, donde c2 es una constante arbitraria. La solución general es una combinación lineal de los dos, y (x) = y1 (x) + y2 (x) = c1 + c2e ^ 2x. No voy a incluir el trabajo para encontrar la solución particular en esta respuesta, pero resolver la constante a da: -a1 = 1, a1 = -1.