En aras de la simplicidad, usaré minúsculas [math] y [/ math] para indicar [math] Y (t) [/ math].
Entonces, nuestro objetivo es resolver el ODE de segundo orden
[matemáticas] t ^ 2 y ” (t) + 2y (t) = 2, \ y (2) = 2 [/ matemáticas]
Para facilitar las condiciones iniciales, haremos una especie de sustitución, donde definiremos una nueva variable, k, como
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[matemática] k = t-2 [/ matemática] con [matemática] u (k) = y (t-2) [/ matemática].
Una cierta manipulación con la regla de la cadena nos dice que esta es una sustitución viable. Esto se hace para que las condiciones iniciales se evalúen en 0, es decir, [matemática] u (k) = u (t-2) = u (2-2) = u (0) [/ matemática].
Nuestra ecuación alterada se convierte
[matemáticas] (k + 2) ^ 2 u ” (k) + 2u (k) = 2, \ u (0) = 2 [/ matemáticas]
En expansión, obtenemos
[matemáticas] k ^ 2 u ” + 4ku ” + 4u ” + 2u ‘= 2 [/ matemáticas]
Ahora es el momento de tomar la transformación de Laplace de ambos lados.
[matemática] \ matemática {L} \ lbrace k ^ 2 u ” + 4ku ” + 4u ” + 2u ‘\ rbrace = \ matemática {L} \ lbrace 2 \ rbrace [/ matemática]
Para facilitar esto, enumeraré la transformación de Laplace de cada término individualmente. Dejaré un asterisco en cada transformación individual como marcador de posición. Deje [math] \ mathcal {L} \ lbrace u (k) \ rbrace = U (s) [/ math]
[matemática] * \ matemática {L} \ lbrace k ^ 2 u ” \ rbrace = (-1) ^ 2 \ dfrac {d ^ 2} {ds ^ 2} \ left (\ mathcal {L} \ lbrace u ‘ ‘\ rbrace \ right) [/ math]
[matemáticas] = \ dfrac {d ^ 2} {ds ^ 2} \ left (s ^ 2 U (s) -su (0) -u ‘(0) \ right) [/ math]
[matemáticas] = \ dfrac {d} {ds} \ left (2s U (s) + s ^ 2 U ‘(s) -u (0) \ right) [/ math]
[matemática] = 2U (s) + 4sU ‘(s) + s ^ 2 U’ ‘(s) [/ matemática]
[matemática] * \ matemática {L} \ lbrace 4ku ” (k) \ rbrace = (-1) \ dfrac {d} {ds} \ left (\ mathcal {L} \ lbrace 4u ” \ rbrace \ right) [/matemáticas]
[matemáticas] = -4 \ dfrac {d} {ds} \ left (s ^ 2 U (s) -su (0) -u ‘(0) \ right) [/ math]
[matemática] = -4 \ left (2s U (s) + s ^ 2 U ‘(s) -u (0) \ right) [/ math]
[matemáticas] = -8s U (s) -4s ^ 2 U ‘(s) +8 [/ matemáticas]
[matemática] * \ matemática {L} \ lbrace 4u ” \ rbrace = 4 \ left (s ^ 2 U (s) -su (0) -u ‘(0) \ right) [/ math]
[matemáticas] = 4s ^ 2 U (s) -8s-u ‘(0) [/ matemáticas]
[matemática] * \ matemática {L} \ lbrace 2u ‘\ rbrace = 2 \ left (sU (s) -u (0) \ right) = 2sU (s) -4 [/ math]
[matemáticas] * \ matemáticas {L} \ lbrace 2 \ rbrace = \ dfrac {2} {s} [/ matemáticas]
Uf. Eso fue mucho, ahora vamos a poner todo junto. Nuestra ecuación en términos de la variable transformada, [math] s [/ math], es ahora (sin simplificación aún):
[matemáticas] 2U (s) + 4sU ‘(s) + s ^ 2 U’ ‘(s) -8s U (s) -4s ^ 2 U’ (s) + 8 + 4s ^ 2 U (s) -8s -u ‘(0) + 2sU (s) -4 = \ dfrac {2} {s} [/ math]
Entonces, para ser completamente honesto, pensé que esta ecuación podría resolverse usando transformadas de Laplace. Sabía que resultaría en un ODE de segundo orden, pero esperaba que hubiera algún tipo de cancelación en algún lugar y se redujera a un caso relativamente fácil. Pero escribí la ODE anterior en Wolfram Alpha y esta es la solución aparente, con [math] a = u ‘(0) [/ math], [math] f (x) = U (s) [/ math] y [matemáticas] x = u [/ matemáticas]:
Entonces, incluso si pudieras calcular eso, necesitarías tomar la transformación inversa de eso y luego enchufar la variable sustituida. No hace falta decir que no creo que esta ecuación sea solucionable mediante transformadas de Laplace, a menos que haya cometido un error o haya pasado por alto una cancelación masiva.
¡Sin embargo, esta ecuación no es completamente insoluble! Es una ecuación de Euler-Cauchy, de la cual, ciertamente, no sé mucho, excepto que existen. Aquí está la página de Wolfram Mathworld sobre estos tipos de EDO: Ecuación diferencial de Euler
Con suerte, saldrá de esta respuesta 1) cómo cambiar las condiciones iniciales y 2) cómo las transformaciones de Laplace pueden volverse muy, muy desordenadas para ciertos tipos de EDO. Por lo general, si su EDO tiene un coeficiente no constante de grado 2 multiplicado por una segunda derivada, tendrá una gran cantidad de trabajo por delante. Es mejor que encuentre un método diferente de solución, como el que se describe en el enlace anterior.