Cómo resolver este problema de Cauchy [matemáticas] z ‘= (z + 4x) ^ 2 [/ matemáticas], [matemáticas] z (0) = 2 [/ matemáticas]

Answer 1

El primer paso es expandir el lado derecho:

[matemáticas] \ frac {dz} {dx} = z ^ 2 + 8xz + 16x ^ 2 [/ matemáticas]

Esta es una ecuación de Riccati: ver ecuación de Riccati – Wikipedia

si dejamos que [math] u = z + 4x, \ frac {du} {dx} = \ frac {dz} {dx} + 4 [/ math], podemos escribir esta ecuación como [math] \ frac {du} {dx} – 4 = u ^ 2 [/ matemáticas]

Esta ecuación es simplemente separable, así que solo tenemos

[matemáticas] \ frac {du} {u ^ 2 + 4} = dx; \ frac {1} {2} arctan (\ frac {u} {2}) = x + C; \ frac {1} {2} arctan \ frac {z + 4x} {2} = x + C [/ math]

Ahora conectamos la condición:

[matemática] 1/2 * arctan (2/2) = 0 + C; π / 8 = C [/ matemáticas]

Entonces, tu solución debería ser

[matemáticas] \ frac {1} {2} arctan \ frac {z + 4x} {2} = x + \ frac {π} {8} [/ matemáticas]

en forma implícita

Answer 2

[matemáticas] z ‘= \ izquierda (z + 4x \ derecha) ^ 2 [/ matemáticas]

Establezca [matemática] y = z + 4x [/ matemática], entonces [matemática] y ‘= z’ + 4 [/ matemática], entonces [matemática] z ‘= y’ – 4 [/ matemática].

[matemáticas] y ‘- 4 = y ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] y ‘= y ^ 2 + 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {y ‘} {y ^ 2 + 4} = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int \ frac {y ‘} {y ^ 2 + 4} dx = \ int 1 dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int \ frac {\ frac {dy} {dx}} {y ^ 2 + 4} dx = x + C [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int \ frac {1} {y ^ 2 + 4} dy = x + C [/ matemáticas]

Configuración [math] y = 2 \ tan \ left (\ theta \ right) [/ math], que da [math] dy = 2 \ sec ^ 2 \ left (\ theta \ right) d \ theta [/ math]:

[matemáticas] \ int \ frac {2 \ sec ^ 2 \ left (\ theta \ right)} {4 \ tan ^ 2 \ left (\ theta \ right) +4} d \ theta = x + C [/ math]

[matemáticas] \ int \ frac {2 \ sec ^ 2 \ left (\ theta \ right)} {4 \ sec ^ 2 \ left (\ theta \ right)} d \ theta = x + C [/ math]

[matemáticas] \ int \ frac {1} {2} d \ theta = x + C [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {1} {2} \ theta = x + C [/ matemáticas]

(La constante de integración es absorbida por [math] + C [/ math]).

[matemática] \ frac {1} {2} \ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {y} {2} \ right) = x + C [/ math]

[matemáticas] \ tan ^ {- 1} \ izquierda (\ frac {y} {2} \ derecha) = 2x + C [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {y} {2} = \ tan \ left (2x + C \ right) [/ math]

[matemáticas] y = 2 \ tan \ izquierda (2x + C \ derecha) [/ matemáticas]

[matemáticas] z = y – 4x [/ matemáticas]

[matemática] z = 2 \ tan \ izquierda (2x + C \ derecha) – 4x [/ matemática]

Es una buena idea sustituir esto en la ecuación original para verificar si es correcto.

[matemática] z ‘= 4 \ sec ^ 2 \ izquierda (2x + C \ derecha) – 4 [/ matemática]

[matemáticas] = 4 \ tan ^ 2 \ izquierda (2x + C \ derecha) [/ matemáticas]

[matemática] \ left (z + 4x \ right) ^ 2 = \ left (2 \ tan \ left (2x + C \ right) \ right) ^ 2 [/ math]

[matemáticas] = 4 \ tan ^ 2 \ izquierda (2x + C \ derecha) [/ matemáticas]

entonces este es el conjunto de soluciones correcto.

Lo que queda es encontrar [matemáticas] C [/ matemáticas]. [math] z \ left (0 \ right) = 2 [/ math], entonces:

[matemáticas] 2 = 2 \ tan \ left (2 \ izquierda (0 \ derecha) + C \ derecha) – 4 \ izquierda (0 \ derecha) [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 = 2 \ tan \ izquierda (C \ derecha) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ tan \ left (C \ right) = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] C = \ frac {\ pi} {4} + n \ pi [/ matemáticas], donde [matemáticas] n [/ matemáticas] es un número entero

[matemática] z = 2 \ tan \ left (2x + \ frac {\ pi} {4} + n \ pi \ right) – 4x [/ matemática]

La elección de [math] n [/ math] no importa, porque la función tangente es periódica con el período [math] \ pi [/ math].

[matemática] z = 2 \ tan \ left (2x + \ frac {\ pi} {4} \ right) – 4x [/ math]

Esta es la solución Para completar, uno podría notar que esto tiene asíntotas verticales en [matemáticas] x = \ frac {\ pi} {8} + \ frac {n \ pi} {2} [/ matemáticas] (donde [matemáticas] n [/ matemáticas ] es un número entero), por lo que el dominio de esta solución está restringido al intervalo abierto [matemáticas] \ left (- \ frac {3 \ pi} {8}, \ frac {\ pi} {8} \ right) [/ matemáticas]. ¿Qué sucede fuera de este intervalo (suponiendo que solo busquemos soluciones reales)? [math] z = 2 \ tan \ left (2x + C \ right) – 4x [/ math] sigue siendo cierto, pero cada intervalo entre dos asíntotas verticales puede tener su propia [math] C [/ math], como lo que sucede en [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas] no puede influir en las cosas más allá de una ruptura en el dominio de aplicabilidad. (Cambie [matemática] C [/ matemática] en cualquier intervalo entre las asíntotas, y la ecuación diferencial todavía se mantiene en cada punto en el dominio de [matemática] y [/ matemática].) Si uno quiere sortear tales descansos, un buen La forma de hacerlo es pedir soluciones complejas en lugar de soluciones reales.