¿Son [matemáticas] y = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] y = e ^ x [/ matemáticas] las únicas funciones que satisfacen [matemáticas] f ‘(x) = f (x) [/ matemáticas]?

Answer 1

No del todo: cualquier múltiplo constante de [math] e ^ x [/ math] también tiene esta propiedad. Sin embargo, no hay otro tipo de función que tenga la propiedad.

Reclamación : [math] f (x) = ke ^ x [/ math], para [math] k \ in \ mathbb {R} [/ math], es la única familia de funciones que satisface [math] f ‘(x ) = f (x) [/ matemáticas].

Tenga en cuenta que [matemática] 0 [/ matemática] y [matemática] e ^ x [/ matemática] son ​​casos especiales de esta familia cuando [matemática] k = 0 [/ matemática] y [matemática] k = 1 [/ matemática] respectivamente .

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Prueba de reclamo :

Supongamos que tenemos [math] g (x) [/ math] tal que [math] g ‘(x) = g (x) [/ math].

Entonces [matemáticas] \ big [e ^ {- x} g (x) \ big] ‘= -e ^ {- x} g (x) + e ^ {- x} g’ (x) = e ^ {- x} \ left (g ‘(x) – g (x) \ right) [/ math]

Pero [matemática] g ‘(x) = g (x) \ \ por lo tanto \ grande [e ^ {- x} g (x) \ grande]’ = 0 [/ matemática]

[matemática] \ por lo tanto e ^ {- x} g (x) = k [/ matemática] para algunos [matemática] k \ in \ mathbb {R} [/ matemática]

[matemáticas] \ por lo tanto g (x) = ke ^ x \ \ [/ matemáticas] QED

Answer 2

Esto es equivalente a resolver la ecuación diferencial más simple:

[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align} \ frac {dy} {dx} & = y \\ \ frac {dy} y & = dx \\ \ int \ frac {dy} y & = \ int dx \\ \ En y & = x + C \\ y & = e ^ {x + C} \\ y & = ce ^ x \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Entonces, hay una rama de funciones que conduce a la derivada que se equipara a sí misma.

Answer 3

Cualquier función en la forma [math] f (x) = Ce ^ x, C \ in \ R [/ math] satisfará. Sus casos corresponden a C = 0 y C = 1.

Answer 4

Sí y = 0 e y = e ^ x son las únicas funciones que satisfacen la condición anterior.